Dibujos simétricos de gráficas completas

Autor: Gelasio Salazar Anaya
Coautor(es): César Hernández-Vélez, Andrea Jiménez, Carolina Medina
Es trivial ver que se pueden dibujar las gráficas completas K_1, K_2, K_3, y K_4 sin cruces de aristas. Es fácil convencerse de que no es posible dibujar K_5 sin cruces de aristas, pero esto es engañoso: este enunciado es equivalente al Teorema de la Curva de Jordan. En todo caso, a partir de esto se sigue que si n es 5 o mayor, entonces es imposible dibujar K_n sin cruces de aristas. Una pregunta natural es: ¿cuál es el menor número de cruces en un dibujo de K_n? Este número se denote por cr(K_n), y es conocido únicamente para valores pequeños de n (para n a lo más 14), y esto se ha logrado apoyándose fuertemente en cálculos por computadora. A fines de los 1950s, el artista británico Anthony Hill se dio a la tarea de producir dibujos de K_n con el menor número posible de cruces. Un vistazo a los dibujos de Hill revela inmediatamente que estos dibujos poseen una alta, muy evidente simetría. En términos técnicos, sus dibujos son vértice-transitivos. Hill calculó el número de cruces H(n) en sus dibujos de K_n, y conjeturó que es imposible dibujar K_n con menos cruces, esto es, que cr(K_n) = H(n). Esta conjetura continúa abierta, más de 60 años después. En esta plática esbozaremos nuestra demostración del siguiente resultado: si el número de cruce de K_n se logra en dibujos vértice-transitivos, entonces la conjetura de Hill es cierta.