Los teoremas de Pappus y Desargues y el álgebra de segmentos de David Hilbert

Ponente(s): Anabel Jáuregui Hernández

La geometría euclidiana elemental, a través de su historia, ha sido reconstruida en varias formas; los Elementos de Euclides (s. III a.C.), y los Fundamentos de la Geometría (1899) de David Hilbert constituyen, por decirlo de algún modo, los dos extremos de una historia de más de veinte siglos. Sin perder de vista tal hecho, en esta ponencia expondremos algunos aspectos medulares de la reconstrucción de Hilbert, que ha sido considerada un punto culminante en la fundamentación de la geometría elemental. Ahora bien, los aspectos que más han sido destacados de dicha obra, son el sistema lógico-deductivo y sus propiedades metalógicas, como la independencia y consistencia de los axiomas. No obstante, para ofrecer un esquema más global del modo en que Hilbert reconstruye la geometría, nosotros nos concentraremos en otros aspectos de esta obra, en particular, veremos que Fundamentos de la Geometría representó un nuevo modo de comprender la geometría euclidiana elemental, mediada por un álgebra de segmentos, cuya característica más sobresaliente fue la incorporación de dos teoremas de la geometría proyectiva, el teorema de Pappus y el teorema de Desargues, al ámbito de la geometría euclidiana elemental. El texto de Hilbert es producto de casi una década de investigación en la que confluyeron esencialmente tres campos de estudio: 1) La geometría proyectiva, que es la disciplina en la que Hilbert comenzó sus reflexiones sobre el fundamento de las matemáticas, y lejos de la cual es difícil comprender adecuadamente los resultados en Fundamentos de la Geometría. 2) La geometría euclidiana que es el terreno en el cual Hilbert desarrolló ciertos resultados de los geómetras proyectivos. 3) Las estructuras algebraicas que le proporcionaron una forma nueva de entender y describir las operaciones entre magnitudes geométricas, particularmente entre segmentos. Respecto al tercer punto, debemos aclarar que, si bien el álgebra abstracta estaba en desarrollo en esa época, Hilbert mismo en su libro sistematizó las propiedades de los números reales, clasificándolas en teoremas de conexión, teoremas de orden y teorema de Arquímedes. Una vez hecho esto, empleó los teoremas de Pappus y Desargues para desarrollar un álgebra de segmentos, consistente esencialmente en dos cosas: 1) la introducción a la geometría de un sistema de objetos llamados “segmentos”, y la definición de sus relaciones y operaciones básicas, y 2) el establecimiento, por métodos estrictamente geométricos, de las propiedades algebraicas del sistema de segmentos. Uno de los resultados más interesantes que se deducen de la estructura del libro, es la posibilidad de reconstruir la geometría elemental sin axiomas de congruencia, algo realmente novedoso frente a los Elementos. El libro Fundamentos de la Geometría constituye un caso de estudio muy interesante en relación al problema filosófico del fundamento de las teorías matemáticas, pues nos muestra que el modo particular de comprender y reconstruir una teoría, en este caso, la geometría euclidiana elemental, determina qué proposiciones son fundamentales. Es decir, en el texto de Hilbert devienen fundamentales dos teoremas proyectivos que en los Elementos de Euclides simplemente no existen.