Entropía extrema y rigidez en espacios métricos medibles

Autor: Pablo Suárez Serrato
Coautor(es): Chris Connell, Xianzhe Dai, Raquel Perales, Jesús Núñez Zimbrón, Guofang Wei
La curvatura Gaussiana en superficies se generaliza en dimensiones superiores a la curvatura seccional en variedades Riemannianas. Consideremos una sucesión convergente de variedades Riemannianas donde la curvatura seccional se mantiene acotada. El límite de la sucesión es un espacio que tiene una geometría de Alexandrov. La curvatura de Ricci es a grandes razgos un promedio de las curvaturas seccionales. Si ahora suponemos que la sucesión de variedades tiene curvatura de Ricci acotada inferiormente, el espacio límite X tiene un estructura de espacio métrico, con métrica d, y también tiene una medida límite m. Por lo tanto lo podemos también pensar en las propiedades geométricas del espacio métrico medible (X,d,m). Este tipo de límites aparecen de forma natural en flujos de Ricci y en deformaciones de variedades Riemannianas. Desde 2009 se empezó a sistematizar el estudio de espacios métricos medibles (X,d,m) con propiedades que permiten desarrollar resultados análogos a los que conocemos para variedades con curvatura de Ricci acotada inferiormente. Esta dirección comenzó con trabajos de Lott-Villani y Sturm. Se llegó a establecer una familia de espacios, que tienen una condición de curvatura *sintética* acotada inferiormente por K, dimensión a lo más D y que son lo más parecido posibles a variedades Riemannianas. Se les denota hoy en día como espacios RCD(K,N), incluyen espacios de Alexandrov, orbifolds, y límites de sucesiones de variedades con curvatura de Ricci acotada inferiormente. En colaboración con Connell-Dai-Perales-Núñez Zimbrón-Wei encontramos propiedades de rigidez para espacios RCD(K,N). Demostramos que el máximo de la entropía volumétrica determina cuando un espacio RCD(K,N) es isométricos a una variedad hiperbólicas. Extendimos la técnica del baricentro de Besson-Courtois-Gallot y la aplicamos a estos espacios métricos medibles RCD(K,N). Demostramos que para espacios RCD(-(N-1), N) homotópicos a alguna variedad hiperbólica M, su medida total está acotada inferiormente por el volumen hiperbólico de M. La igualdad ocurre si y solamente si el espacio es isométrico a M.