Operadores de Toeplitz y cuantizaciĆ³n

Autor: Maribel Loaiza Leyva
Consideremos $\mathbb{C}^n$ con la medida $(\frac{\alpha}{\pi})^ne^{-\alpha \|z\|^2}dz$ donde $\alpha$ es un par\'ametro positivo. El espacio de Fock $\mathcal{F}_{\alpha}$ est\'a formado por todas las funciones enteras que son cuadrado integrables. Una de sus propiedades m\'as importantes es que es un subespacio cerrado de $L^2(\mathbb{C}^n, (\frac{\alpha}{\pi})^ne^{-\alpha \|z\|^2}dz)$. Por ello, la proyecci\'on ortogonal $P_{\alpha}$ de $L^2(\mathbb{C}^n, (\frac{\alpha}{\pi})^ne^{-\alpha \|z\|^2}dz)$ sobre $\mathcal{F}_{\alpha}$ est\'a bien definida. Para una funci\'on acotada $f$, el operador de Toeplitz $T_f$ con s\'imbolo $f$ est\'a definido como $$T_f(g)=P_{\alpha}(fg), g \in \mathcal{F}_{\alpha}.$$ Tambi\'en podemos definir operadores de Toeplitz con s\'imbolos no acotados pero es necesario restringir su dominio. En esta pl\'atica veremos como los operadores de Toeplitz son utilizados en cuantizaci\'on por deformaci\'on de $\mathbb{C}^n$.