Problema de Hilbert-Arnold y órbitas por monodromía

Autor: Jessie Diana Pontigo Herrera
Coautor(es): Pavao Mardesic, Dmitry Novikov, Laura Ortiz-Bobadilla.
En esta plática abordaremos el problema de Hilbert-Arnold, también conocido como la versión infinitesimal del problema 16 de Hilbert, el cual consiste en acotar el número de ciclos límite que surgen al perturbar ecuaciones hamiltonianas: \begin{equation} \begin{aligned} \dot{x}&= F_y+\epsilon p(x,y)\\ \dot{y}&=-F_x+\epsilon q(x,y), \end{aligned} \end{equation} con $F$, $p$ y $q$ polinomios, y $\epsilon$ un parámetro real suficientemente pequeño. Más precisamente, se quiere conocer lo que ocurre con una familia continua de órbitas periódicas $\gamma$ de la ecuación hamiltoniana después de perturbar. Para estudiar esto se utiliza la función de desplazamiento; $\Delta(z,\epsilon)=\epsilon M_1(z)+\epsilon^2M_2(z)+\cdots$. Si ésta no es idénticamente cero, entonces sus ceros aislados corresponden con los ciclos límite que surgen en la perturbación en una vecindad de $\gamma$. De hecho, si $\Delta\not\equiv 0$, entonces el número de ceros de la primera función $M_\mu$ que no se anula idénticamente acota al número de ceros aislados de $\Delta$, localmente. Es sabido que la función $M_\mu$ es una integral iterada. Al considerar la complejificación del problema, se puede definir un objeto geométrico llamado órbita por monodromía, que es un subgrupo del primer grupo fundamental de la fibra regular de la complejificación del hamiltoniano. Éste sirve para definir una constante $\kappa$ llamada profundidad de la órbita, la cual acota a la longitud de iteración de la función $M_\mu$. Además, esta constante $\kappa$ depende únicamente de la topología de la fibra regular de $F$ y de la órbita por monodromía de $\gamma$, y en particular no depende de la perturbación. En el caso genérico $\kappa=1$, en casos no genéricos sólo se conocen ejemplos con $\kappa=2$ o $\kappa=\infty$, se conjetura que estas son las únicas posibilidades para esta cota.