Productos semidirectos y 2-grupos enmarcados

Ponente(s): Juan Orendain Almada
Una bicategoría enmarcada es una categoría doble en donde los funtores de marco izquierdo y derecho son bifibraciones de Grothendieck. Bimódulos, profuntores, espectros parametrizados, redes de Petri abiertas, y comonoides sobre funtores polinomiales, entre otros, son ejemplos de estructuras que naturalmente se organizan en bicategorías enmarcadas. Un 2-grupo enmarcado es una bicategoría enmarcada estricta con un único objeto. Grupoides dobles simétricos con conexión, y en particular los grupoides dobles de homotopía de Brown y Higgins, son ejemplos de 2-grupos enmarcados. Uno de los teoremas fundamentales de la homotopía no abeliana, probado independientemente por Spencer y Brown-Mosa-Paré a finales de los 90's dice que el funtor de 2-categoría decorada horizontal establece una equivalencia entre la categoría de grupoides dobles simétricos con conexión y la categoría de 2-grupos, con inverso el funtor de la categoría doble de quintetos de Erhesmann. En esta plática explicaré un método, haciendo uso esencial de la construcción y estructura de productos semidirectos de grupos, para construir grupoides dobles no equivalentes con el mismo 2-grupo horizontal decorado, conjeturando que estos grupoides dobles son 2-grupos enmarcados no equivalentes. Esto probaría un contraejemplo al teorema de Brown-Mosa-Paré para 2-grupos enmarcados. Explicaré como este método se extiende, a través de una instancia de la construcción de Grothendieck, a métodos para construir categorías dobles a partir de ciertos datos funtoriales, generalizando una construcción clásica de bicategorías enmarcadas de Shulman a través de bifibraciones monoidales en categorías monoidales cartesianas. Bibliografía [1] Brown R., Mosa G., Paré R. Double categories, 2-categories, thin structures and connections. Theory and Applications of Categories,V ol. 5, No. 7, 1999, pp. 163–175. [2] Shulman M., Framed bicategories and monoidal fibrations, Theory and Applications of Categories, Vol. 20, No. 18, 2008, pp. 650–738. [3] Orendain J. Lifting bicategories through the Grothendieck construction. arXiv:1910.13417.