Resolución numérica de la generalización fraccionaria del problema de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou

Autor: Jorge Eduardo Macías Díaz
En este trabajo, consideramos una ecuación diferencial parcial que extiende las conocidas cadenas Fermi - Pasta - Ulam - Tsingou. El modelo continuo bajo consideración incluye la presencia tanto de un término de amortiguamiento como de una función polinomial en términos de derivadas fraccionarias espaciales de Riesz. En este trabajo, se consideran condiciones iniciales y de frontera en un intervalo cerrado y acotado. El modelo matemático tiene un hamiltoniano fraccional que se conserva cuando el coeficiente de amortiguamiento es igual a cero, y se disipa en caso contrario. Motivados por estos hechos, proponemos un modelo discreto para aproximar las soluciones del sistema continuo. El modelo es un esquema explícito que se basa en el uso de diferencias centradas fraccionarias para aproximar las derivadas espaciales del modelo. En este trabajo también se propone una forma discretizada del hamiltoniano, y probamos analíticamente que el método es capaz de conservar o disipar la energía discreta en las mismas condiciones que garantizan la conservación o disipación de energía del modelo continuo. Mostramos que las soluciones del modelo discreto existen y son únicas bajo condiciones de regularidad adecuadas en la función de reacción. Establecemos rigurosamente las propiedades de consistencia, estabilidad y convergencia del método. Con ese fin, demostraremos matemáticamente algunos resultados técnicos novedosos. Las simulaciones por computadora confirman la capacidad del método para preservar la energía.