El COPO de clases laterales de familias de subgrupos de un grupo

Autor: Bernardo Villarreal Herrera
Coautor(es): Simon Gritschacher
En esta plática veremos la construcción de un complejo simplicial K asociado a una familia de subgrupos de un grupo, originalmente estudiado por K. Brown, quien estaba interesado en la función que describe la probabilidad de que un conjunto finito arbitrario de s elementos de un grupo finito G genere al grupo completo. En particular el valor de dicha función en -1 resulta estar relacionado con la característica de Euler del complejo simplicial asociado al conjunto parcialmente ordenado de clases laterales de subgrupos propios. Una pregunta muy interesante de Brown sobre este complejo fue la siguiente. Para un grupo arbitrario G, ¿si K es contraíble, entonces G es finito? J. Shareshian y R. Woodroofe en 2016 probaron que esto es cierto. Nosotros estaremos interesados en la información algebraica de G que se puede obtener a partir de que K sea altamente conexo, es decir, si es conexo, simplemente conexo, 2-conexo, etc. Concretamente, podemos responder la siguiente pregunta. Para la clase de subgrupos abelianos de G, ¿qué tan conexo tiene que ser K para que G sea abeliano? ¿Se puede generalizar a la clase de subgrupos nilpotentes?