Representaciones de Galois con imagen en el grupo excepcional $G_2$

Autor: Adrian Zenteno Gutierrez
La experiencia sugiere que la imagen de las representaciones de Galois módulo $\ell$, asociadas a formas automorfas, debe ser tan grande como sea posible a menos que exista alguna razón automorfa que lo impida. Por ejemplo, si $f$ es una forma modular clásica de peso $k\geq 2$, Ribet demostró que la imagen de sus representaciones de Galois módulo $\ell$ contienen a $SL_2(\mathbb{F}_\ell)$, para casi todo primo $\ell$, salvo cuando $f$ tiene multiplicación compleja. Resultados similares han sido demostrados por Dieulefait, Vila y Weiss para representaciones de Galois de dimensión 3 y 4. En esta charla presentaremos evidencias de que es posible demostrar un resultado similar para ciertas representaciones de Galois de dimension 7 cuya imagen contiene al grupo excepcional de tipo Lie $G_2(\mathbb{F}_\ell)$.