Compactificaciones equivariantes de G-espacios fibrados

Autor: Brahyam Ricardo Maldonado Ibague
Considere un espacio fibrado (X,p) sobre un espacio base B, se dice que este es un espacio es compacto si la función $p$ es propia, es decir, es una función continua, cerrada y $p^{-1}(b)$ es compacto para cada $b\in B$. Por lo tanto, en caso de que el espacio no sea compacto, podemos considerar su compactificación, la cual resulta ser una tripla $(Z,\varphi,q)$, donde $q$ es propia y $\varphi\colon X\longrightarrow Z$ es un homeomorfismo entre $X$ y $\varphi(X)$, este último resulta ser un espacio abierto y denso en $Z$. \\Se pueden construir estas compactificacones a partir de las $C^*-$subálgebras $A$ de $C_0(X,p)$, definiendo $Z$ como el espectro Gelfand de estas subálgebras, las cuales deben contener a $C_0(X)$ como un ideal esencial. \\Si $X$ es un espacio localmente compacto y $G$ es un grupo topológico que además de actuar sobre el espacio $X$ a izquierda lo hace sobre $C_b(X)$, se dice que es un $G-$espacio. En este caso, se consideran los grupoides, los cuales se pueden ver como un espacio fibrado con una función específica $r$ sobre su conjunto de unidades, denotado como $\mathcal{G}^0$. En este caso, si $(X,p)$ también es un espacio fibrado sobre $\mathcal{G}^0$ y el grupoide actua a izquierda sobre él, éste es un $G-$espacio fibrado, en el cual se define un producto fibrado entre $G$ y $X$ en el que se define una función continua de multiplicación. \\En particular, se busca estudiar las compactificaciones fibradas de $(X,p)$ a las que se puede extender la acción del grupoide étale de una manera única, previamente defininendo una operación denominada convolución, la cual toma elementos de $C_c(G)$ y de $C_b(X)$, el resultado será que se tiene nuevamente una relación con las $C^*-$subálgebras de $C_0(X,p)$ las cuales sean invariantes bajo la convolución por elementos de $C_c(G)$.