Estudio de invariantes de nudos usando funciones de Morse

Autor: Myriam Hernández Ketchul
Coautor(es): Dra. Fabiola Manjarrez Gutiérrez
Una parte fundamental de la teoría de nudos es poder clasificar los encajes de estos en sus clases de isotopía ambiente, a las cuales denominaremos sus ‘clases de equivalencia’. De forma coloquial decimos que dos encajes son equivalentes si podemos deformar uno en el otro. El problema radica en distinguir cuando dos encajes no son equivalentes. Para ello se han desarrollado funciones, llamadas invariantes de nudos, que nos permiten asociar objetos a los encajes, de manera que si dos encajes son equivalentes entonces se les asociará el mismo objeto. Sin embargo, que dos encajes tengan asociado el mismo objeto no implica que sean equivalentes, por eso es necesario desarrollar teoría alrededor de más de un invariante. La teoría de Morse permite estudiar la topología de cualquier variedad topológica diferenciable a través de sus funciones diferenciables. Al ser los nudos encajes continuos, suaves y sin auto intersecciones del círculo unitario en un espacio euclidiano de tres dimensiones, estos serán variedades topológicas diferenciables y por ello es posible estudiarlos usando funciones de Morse. En este trabajo se analizará la motivación para usar las funciones de Morse como herramienta principal para definir invariantes de nudos, se explicarán los invariantes estudiados por Blair y Ozawa en su artículo “Height, trunk and representativity of knots” y se mostrarán ejemplos gráficos que hacen uso de la teoría expuesta.