Números reales con series de Lüroth de crecimiento rápido

Autor: Gerardo Gonzalez Robert
Coautor(es): Aubin Arroyo
En 1883, J. Lüroth mostró que podemos expresar de manera única a todo número real en el intervalo $(0,1)$ como una serie de la forma \[ \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_1(a_1-1)a_2} + \frac{1}{a_1(a_1-1)a_2(a_2-1)a_3} + \ldots, \] donde $(a_n)_{n\geq 1}$ son enteros mayores o iguales que 2. Como en varias formas de representar a los números reales, existe un sistema dinámico $((0,1),L)$ naturalmente asociado a las series de Lüroth. En este trabajo estimamos la dimensión de Hausdorff de una familia de conjuntos que son invariantes bajo $L$. Tales conjuntos están formados por números reales cuyos términos en la serie de Lüroth crecen rápidamente. Además de extender el artículo de Y. Sun y J. Wu ``A Dimensional Result in Continued Fractions'' (International Journal of Number Theory Vol. 10, No. 4 (2014) 849--857) de fracciones continuas a series de Lüroth, la robustez de nuestro argumento nos permite recuperar el resultado original de Sun y Wu al aplicarse en fracciones continuas.