Un nuevo vistazo a la Radioterapia: Análisis de sus efectos mediante el método de Localización de Conjuntos Compactos Invariantes.

Autor: Ricardo Aguilar Garay
Coautor(es): Dulce Estefanía Nicolás Álvarez Escuela Nacional de Ciencias Biológicas, ENCB - Instituto Politécnico Nacional
La incidencia del cáncer en América Latina, continúa en aumento de manera preocupante, se ha posicionado dentro de los tres primeros lugares de mortandad dentro de la población. Las estrategias multidisciplinarias en la implementación de tratamientos, así como la atención y calidad terapéutica de la radioterapia ha ido mejorando, sin embargo, aún sigue teniendo recursos limitados al momento de administrarlo a la población afectada [1]. Aprovechar al máximo el potencial de las terapias ya existentes, es un compromiso social, que como investigadores debemos perseguir. De ahí que evaluar los efectos de la radioterapia mediante el método de la Localización de Conjuntos Compactos Invariantes (LCCI) es una alternativa con altas probabilidades de éxito [2,3,4]. La LCCI junto con la teoría de la estabilidad de La Salle y de Lyapunov es un método analítico sin la necesidad de integración numérica para conocer la dinámica del sistema a largo plazo. El método ofrece cotas ínfimas y supremas expresadas mediante desigualdades en función de los parámetros del sistema, estas cotas a su vez generan un politopo localizado en el ortante no negativo R_+^n, conteniendo al conjunto atractor, se obtienen las condiciones de viabilidad biológica que determinarán las condiciones para que el sistema cancerígeno sea disipativo y que las trayectorias sean atraídas al punto de equilibrio libre de tumor y analizando los conjuntos ω-límite en el plano libre de tumor. Además, se estudió el modelo propuesto por Freedman y Pinho [5] que plantea un modelo general de crecimiento logístico con un parámetro de control correspondiente a la radioterapia, este es un modelo de cuatro ecuaciones diferenciales no lineales donde interactúan las células normales/cancerígenas y las células normales/cancerígenas lisadas. El parámetro de control por radioterapia reportado en [5] es de tipo racional, este es aplicado a la dinámica de células normales ya que es inevitable que el efecto de la radiación no afecte las células normales, sin embargo, el objetivo es atacar a las células cancerígenas, es por eso que el resultado se ve atenuado con un parámetro con el fin de simular la escasa alteración a las células normales. A este modelo se le aplica la LCCI determinando las condiciones de viabilidad biológica, encontrando los 5 puntos de equilibrio desarrollado de las raíces de un polinomio de cuarto grado y uno más, que denominaremos punto de equilibrio libre de tumor. Por otro lado, se plantean dos modificaciones propias al modelo de Freedman y Pinho [5], mejorando la dinámica que activa el parámetro de radioactividad pasando de un efecto racional a un efecto lineal y un tercer modelo modificando la acción de radioterapia a una acción de control variante en el tiempo. En este estudio se demostró el teorema para el primer modelo que brinda las condiciones de atractividad dividido en dos partes: 1) LCCI denotando las cotas ínfimas y supremas y 2) las condiciones necesarias sobre el parámetro de radioterapia \gamma_2 de tal manera que cumpla que las trayectorias incidan al punto de equilibrio libre de tumor. En el segundo modelo se presentan los puntos de equilibrio y las condiciones necesarias para que las trayectorias tiendan al punto de equilibrio libre de tumor y para el tercer modelo se presentan funciones candidatas para el control tomando en cuenta solamente dos condiciones de competencia parcial. Este estudio se complementa con simulaciones numéricas para los tres modelos además se comprobó el teorema para diferentes condiciones iniciales, demostrando así que el diseño del parámetro de control de radioterapia se puede acotar ínfimamente sólo con los parámetros del sistema cancerígeno para el caso del primer modelo. Parte de este estudio involucra encontrar, en un futuro, la LCCI para el segundo y tercer modelo, así como la estabilidad local y explorar el análisis teórico del tercer modelo basado en el teorema de Markus [6]. Referencias [1]https://www.dialogoroche.com/content/dam/Argentina/Documentos/WOC2019/PREPARACION_PARA_ABORDAJE_CANCER_AMERICA_LATINA.pdf Consultado el (DD/MM/AA) Consultado el (01/09/2020) [2] Krishchenko, Alexander & Starkov, Konstantin. (2006). Localization of compact invariant sets of the Lorenz system. Physics Letters A. 353. 383-388. [3] Konstantin E. Starkov, Luis N. Coria, Global dynamics of the Kirschner-Panetta model for the tumor immunotherapy, Nonlinear Analysis: Real World Applications, Volume 14, Issue 3, 2013, Pages 1425-1433. [4] Konstantin E. Starkov, Alexander P. Krishchenko, On the global dynamics of one cancer tumour growth model, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Volume 19, Issue 5, 2014, Pages 1486-1495. [5] Freedman, H.I., and Pinho, S.T.R. Stability criteria for the cure state in a cancer model with radiation treatment. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 10(2009), 2709-2715. [6] Freedman, H. I., & Pinho S.T. Persistence and extinction in a mathematical model of cell populations affected by radiation. Periodica Mathematica Hungarica, 2008, 56(1), 25-35.