Ciclos Arcoíris y la Conjetura Bermond-Thomassen

Autor: Mariel Adriana Jácome Balderas
Coautor(es): Diego Antonio González Moreno.
A comienzos del año 2019 el matemático Ron Aharoni publicó un artículo en el cual presenta una generalización de la famosa conjetura de Caccetta-Häqqkvist, convirtiendo así un problema de digráficas en un problema de coloraciones Anti-Ramsey en gráficas. Por otra parte, en 1981, Bermond y Thomassen publicaron una conjetura que relaciona el ex-grado mínimo de una digráfica con su estructura cíclica. Conjetura (Bermond-Thomassen). Sea D una digráfica de orden n. Si d +(v) ≥ 2r − 1 para todo v ∈ V (D). Entonces D contiene al menos r ciclos disjuntos en vértices. Utilizando las ideas expuestas por Aharoni nosotros proponemos la siguiente generalización de la Conjetura de Bermond-Thomassen. Sea G una gráfica de orden n sin aristas múltiples. Si Γ es una n-coloración por aristas de G, donde |Γ−1(i)| ≥ 2r˘1, para todo i ∈ {1, ..., n}. Entonces G contiene al menos r ciclos arcoíris disjuntos en vértices. Obsérvese que cuando r = 1 tenemos una gráfica G de orden n con al menos n aristas de color distinto. Utilizando resultados básicos de teoría de las gráficas es fácil ver que G contiene un triángulo arcoíris. En este póster presentaremos algunos resultados relacionados que se han obtenido con respecto a la conjetura propuesta.