Motivos y las conjeturas estándar de Grothendieck

Autor: Alejandro Martínez Méndez
En los 60's, Grothendieck introdujo el concepto de 'motivos [puros]' para estudiar ciclos algebraicos. Para ello, se asignan relaciones de equivalencia que cumplen propiedades compatibles con la teoría de intersección de los ciclos. A los grupos cocientes de ciclos correspondientes a cada relación se les pueden asignar teorías de cohomología si las relaciones de equivalencia son suficientemente gruesas. Partiendo de estos conceptos, y el deseo de crear una teoría de cohomología universal para ciclos algebraicos, Grothendieck formuló una serie de cinco conjeturas sobre los ciclos algebraicos, llamadas 'las Conjeturas Estándar'. De ser ciertas, no solo confirmarían la existencia de la anteriormente mencionada teoría de cohomología universal, sino confirmarían que la teoría de motivos es 'buena' (en sentido de que es compatible de manera funtorial con la teoría de intersección de ciclos algebraicos) y probaría las conjeturas de Weil. Hasta el momento se han probado numerosos casos particulares de las conjeturas estándar, más aún, se han encontrado conexiones entre ellas y otras conjeturas famosas incluyendo la de Hodge. En esta presentación se dará una breve construcción de motivos, se enunciarán las conjeturas estándar, se presentarán relaciones entre las mismas y se enlistarán casos particulares donde se ha encontrado que son ciertas.