Operadores de transmutación y la propiedad de Runge para la ecuación de Schrödinger radial

Autor: Víctor Alfonso Vicente Benítez
Coautor(es): Vladislav V. Kravchenko.
El objetivo de este trabajo es presentar una construcción explícita desarrollada en \cite{mine}, de un sistema completo de soluciones para la ecuación de Sch\"odinger radial \begin{equation}\label{schrodinger} \mathbf{S}u(x):= \left( \bigtriangleup_d -q\left(| x|\right)\right) u(x)=0, \quad\;x\in \Omega, \end{equation} en un dominio acotado y estrellado $\Omega\subset \mathbb{R}^d$, y con un potencial $q\in C^1(\overline{\Omega})$ que sólo depende de la componente radial $r=|x|$. Para ello, usaremos el hecho de que cada solución de (\ref{schrodinger}) puede ser escrita en la forma \begin{equation*} u(x)=\mathbf{T}h(x)= h(x)+\int_0^1\sigma^{d-1}G(r,1-\sigma^2)h(\sigma^2x)d\sigma, \end{equation*} donde $h$ es una función armónica y el núcleo $G$ es de clase $C^2$ (véase \cite{gilbert1}). El operador $\mathbf{T}$ se conoce como {\it operador de transmutación}, y se mostrará que es continuo e invertible, tanto en la topología de $C(\Omega)$, como en el espacio $L_2(\Omega)$. Empleando las propiedades de $\mathbf{T}$, obtendremos un sistema de soluciones clásicas $\mathcal{S}\subset C^2(\Omega)$, que es completo en el sentido de la convergencia uniforme en compactos, y que además forma una base ortogonal en el espacio de Bergman de soluciones en $L_2(\Omega)$. Finalmente, haciendo uso de la propiedad de Runge para (\ref{schrodinger}), se probará que si el dominio $\Omega$ es de tipo Lipschitz, entonces $\mathcal{S}$ es completo en el espacio de soluciones débiles con la norma $H^1(\Omega)$. \begin{thebibliography}{100} \bibitem{gilbert1} \textsc{R. P. Gilbert, K. Atkinson}, \textit{Integral operator methods for approximating solutions of Dirichlet problems.} ISMN Vol. 15, Birkhäuser, Basel, 1970. \bibitem{mine} \textsc{V. V. Kravchenko, V. A. Vicente-Ben\'itez},\textit{Transmutation operators and complete systems of solutions for the radial Schr\"odinger equation}. Math Meth Appl Sci. 2020; pp. 1–32. \end{thebibliography}