DESARROLLO DE SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES FRACCIONALES DE REACTORES POLIMÉRICOS EN ESTADO DINÁMICO APLICANDO DIFERENCIAS FINITAS Y LA DERIVADA FRACCIONAL DE GRÜNWALD - LETNIKOV

Autor: Luis Felipe Velázquez León
Coautor(es): Guillermo Fernández Anaya Martín Rivera Toledo
En el presente trabajo de investigación, se desarrollan, se investigan, se analizan, se presentan y se estudian soluciones numéricas de modelos matemáticos de sistemas dinámicos de orden fraccional que rigen el comportamiento de reactores de polimerización isotérmicos de dos tipos: primero, reactores poliméricos por lotes; segundo, reactores poliméricos continuos de tanque agitado con mezcla perfecta. Se presentan dos casos de estudio muy concretos, uno para cada tipo de reactor, en los cuales se manejan datos reales de la industria. Los modelos matemáticos seleccionados consisten en sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden invariantes en el tiempo. El método numérico empleado se aplica de la siguiente manera: las derivadas de orden entero se pasan directamente al orden fraccional gracias a la adimensionalización de los modelos matemáticos que gobiernan el comportamiento dinámico de los reactores poliméricos escogidos. Estos sistemas de ecuaciones diferenciales fraccionales se resuelven mediante un método numérico basado en la derivada fraccional de Grünwald–Letnikov, que consiste fundamentalmente en diferencias finitas para discretizar derivadas de orden fraccional. Este método numérico aplicado a los modelos matemáticos dinámicos objeto de estudio se implementa en el lenguaje de programación de MATLAB. Con las soluciones numéricas obtenidas, se efectúan simulaciones numéricas a lo largo de distintos intervalos del tiempo adimensional. Se manejan órdenes fraccionales de las derivadas muy cercanos a la unidad. Aunque el método matemático empleado es perfectamente aplicable a sistemas de ecuaciones diferenciales fraccionales tanto conmensurados como no conmensurados, lineales y no lineales, variantes e invariantes en el tiempo, el presente trabajo se enfoca únicamente a la solución numérica de sistemas ecuaciones diferenciales fraccionales conmensurados no lineales invariantes en el tiempo, aplicados a sistemas dinámicos en Ingeniería Química. Dado que los modelos matemáticos investigados en este estudio científico son no lineales, los resultados demuestran claramente que las respuestas dinámicas obtenidas tienen comportamientos bastante diferentes a las respuestas dinámicas de los modelos dinámicos linealizados. Se presenta una comparación entre las respuestas dinámicas de los modelos matemáticos no lineales (resueltos numéricamente en este trabajo) y las respuestas dinámicas de los modelos linealizados (resueltos analíticamente en trabajos pasados), a fin de respaldar, con los respectivos cálculos, los resultados descritos en este párrafo. A diferencia de la investigación presentada en este trabajo, en la cual se resuelven los modelos matemáticos dinámicos en su versión no lineal sin linealizar desde un enfoque de métodos numéricos para sistemas de ecuaciones diferenciales fraccionales aplicados a dos casos de estudio concretos de la Ingeniería Química, en trabajos de investigación pasados se estudió y analizó la manera en que los análisis de estabilidad asintóticos concuerdan con los resultados brindados por las respuestas dinámicas de los sistemas dinámicos de orden fraccional linealizados investigados, en aquel entonces también correspondientes a reactores poliméricos. Asimismo, se presentaron soluciones analíticas explícitas aproximadas, desarrolladas y obtenidas a partir de los modelos matemáticos que gobiernan dichos sistemas dinámicos de orden fraccional no lineales linealizados.