La pregunta sobre la heurística e hipótesis «abductiva» en el in(fnito) descenso de Fermat

Ponente(s): Öscary Ávila HernÁndez, William González Calderón, Grupo de investigación Gincap-Universidad Autónoma (UNAB) Colombia.

La Heurística se conoce en matemáticas desde la Grecia antigua, para Grothendieck lo trascendental detrás de un problema es la de buscar las fuentes (manantiales) de preguntas asociadas al propio problema; en esencia significa un enfoque de los fundamentos de la matemática radicalmente diverso al plasmado por la teoría de conjuntos. Señala Zalamea (2009) que la lectura de Grothendieck es transversal, donde “más que una resolución acumulativa del saber, lo que importa es el enlace movible de las preguntas naturales que subyacen tras las soluciones”. La noción e idea de heurística se le atribuye a Pappus (300 d.C.), idea que se deja traducir como el arte de resolver problemas, y la cual consiste en 2 líneas estratégicas: la primera en asumir que la solución está dada y trabajar desde atrás hasta encontrar algo conocido o que sea verdadero, y la segunda consiste en ir hacia “adelante”: se inicia considerando los axiomas, postulados y teoremas ya probados, y se trabaja en dirección al resultado; a estos dos métodos se les llama análisis y síntesis (Aliseda, 2000). El llamado conocimiento matemático se sustenta en 2 modos de comprensión: uno de forma directa, y corresponde a la intuición, y el otro se lleva a cabo de forma reflexiva es decir lógica, en otras palabras, el referenciado conocimiento matemático muestra 2 estadíos: la deducción e inducción. Sin embargo diversidad de autores se han preocupado por analizar y estudiar un tipo especial de razonamiento llamado «abducción» y otros autores como Duarte (2015) han pretendido integrarlo dentro del denominado dialogo persuasivo. Igualmente se encuentran estudios que buscan integrar marcos pragmáticos, como la conversación y el lenguaje, con la abducción (Nubiola, 1998; Duarte, 2012). Uno de los intereses principales –en los últimos 50 años dentro de la filosofía de la ciencia– ha sido el estudio y la comprensión de los problemas ligados con la generación de hipótesis, y su conexión con procesos inferenciales que permiten la adquisición de nuevo conocimiento (Aguayo, 2011). La relación entre «lógica-argumentación» viene siendo tema de discusión y análisis, y evidentemente existen intentos de distanciarlas bajos conceptos y demarcaciones del tipo: Lógica vs. Retórica o Lógica formal / Lógica informal (Vega, 1990). Igualmente existen escenarios (lugares) de cruce obligado, uno de ellos es La demostración, y no es un secreto que desde la civilización griega la lógica ha tenido que ver con la argumentación. Los más importantes pensadores dentro de las matemáticas han plasmado un interés por las leyes, y por el “orden” que presentan las ciencias vecinas como la filosofía y la física. Señala Hilbert (1993) que frente a los hechos que integran cierta esfera de conocimiento, más o menos comprensiva, nos conducen a que la totalidad de los mismos es susceptible de un orden, y que este proceso se genera acudiendo a una trama de conceptos ligados entre sí, de modo que a cada objeto y a cada acción-hecho del campo de conocimiento que se aborde le corresponda un concepto de esa trama, y una relación (lógica) entre conceptos del mismo. Al entramado de conceptos David Hilbert le designa la teoría de esa esfera del saber, si analizamos una teoría determinada debemos reconocer un número (finito) de distinguidas proposiciones estructuradas que servirán de fundamento para la construcción del entramado de conceptos; a partir de esas proposiciones (estructuradas) y con base en principios e inferencia lógica, logramos el diseño del edificio conceptual que subyace a la disciplina. Dada la ecuación: F (x_{1}, x_{2},..., x_{n}) = 0 de (n) variables, se define: (x_{1},x_{2},...,x_{n}) Є Z^{n} / F (x_{1},x_{2},...,x_{n}) = 0 ,el conjunto de soluciones de la ecuación [F]. Si el conjunto (A) es diferente de vacío, entonces posee un primer elemento mínimo solución. El referenciado método del descenso infinito de Fermat consiste en construir una nueva solución (y_{1}, y_{2},...,y_{n}) < (x_{1},x_{2},...,x_{n}), y de esta forma contradecir la minimalidad del conjunto (A). En esta comunicación se pretende plasmar la estructura heurística y aritmética, que anida en el método del descenso infinito diseñado por Pierre de Fermat; igualmente a luz de la definición hecha por Charles Sanders Peirce se pondrá de manifiesto la categoría de razonamiento abductivo que posee el método referenciado. Palabras clave: Abducción, Charles S. Peirce, Descenso infinito, Heurística, Filosofía de la matemática. BIBLIOGRAFÍA [1] Aguayo, W. P. (2011). La teoría de abducción de Peirce: lógica, metodología e instinto. Ideas y Valores, Vol. 60, pp. 33-53. [2] Aliseda, A. (2000). Heurística, hipótesis y demostración en matemáticas. México: Universidad Autónoma de México. [3] Ávila-Hernández, Ó. (2020). Del «acervo argumentativo» en el aula: razonamiento abductivo, conteos e idearios aritméticos. Problema de investigación tesis doctoral. Universidad de Los Andes (ULA). Venezuela. [4] Ávila-Hernández, Ó. (2016). Sobre la doxa & el logos en el aula de matemáticas frente a la argumentación. Revista Colombiana de Matemática Educativa, Vol. 1(1b), pp. 40-42. [5] Duarte, A. (2015). La abducción: una aproximación dialógica. Tesis inédita doctoral. Universidad Complutense de Madrid, España. [6] Hilbert, D. (1993). Fundamentos de las Matemáticas. Colección Mathema Facultad de Ciencias. México: Universidad Nacional Autónoma de México. [7] Plantin, C. (1998). La argumentación. España Editorial Ariel. [8] Vega, L. (1990). La trama de la demostración. España: Alianza Editorial. [9] Zalamea, F. (2009). La Filosofía sintética de las matemáticas contemporáneas. Bogotá Editorial Universidad Nacional de Colombia.