¿Qué ocurre si se cumple el Axioma de Elección? ¿Y si no?

Autor: Iván Martínez Ruiz
El Axioma de Elección es seguramente uno de los resultados más controvertidos en la Teoría de Conjuntos. Entre otras formas, el Axioma de Elección se puede enunciar de la siguiente forma: Dada una familia no vacía de conjuntos no vacíos, es posible definir una función (denominada función de elección) que elige exactamente un elemento de cada uno de los conjuntos que pertenecen a dicha familia. Un primer elemento que contribuye a tal controversia es el que este resultado asegura la existencia de ciertos objetos sin brindar una construcción explícita de los mismos. Un elemento adicional es que es posible obtener resultados un poco extraños, como por ejemplo la Paradoja de Banach-Tarski. Sin embargo, el Axioma de Elección resulta ser un resultado esencial para justificar varias de las propiedades básicas en distintas áreas de las matemáticas. El objetivo de esta plática será presentar algunas consecuencias y/o equivalencias del Axioma de Elección, así como algunas versiones más débiles. Más aún, estudiaremos algunos resultados que se pueden obtener si asumimos que se cumple la negación del Axioma de Elección.