La función distancia mínima y la función huella de un ideal graduado

Ponente(s): Yuriko Pitones Amaro

Sean $S$ un anillo de polinomios sobre el campo $K$ e $I$ un ideal graduado de $S$. En esta plática definiremos dos funciones asociadas a $I$: la funci\'on de distancia m\'inima $\delta_{I}$ y la funci\'on huella ${\rm fp}_{I}$. Para definir $\delta_{I}$ y ${\rm fp}_{I}$ usamos la funci\'on de Hilbert, el grado (multiplicidad) y una base de Gr\"obner para $I$. Estudiamos estas funciones desde un punto de vista computacional usando m\'etodos de bases de Gr\"obner e implementaciones en {\it Macaulay$2$}. Tambi\'en estudiamos estas funciones desde un punto de vista te\'orico y examinamos su comportamiento asint\'otico. Estas funciones pueden ser expresadas en t\'erminos de los invariantes algebraicos de $I$. Mostraremos que ${\rm fp}_{I}$ es una cota inferior para $\delta_{I}$. Damos f\'ormulas para calcular ${\rm fp}_{I}$ y $\delta_{I}$ en el caso de ciertas intersecciones completas. En el caso de ideales monomiales que son intersecci\'on completa $\delta_{I}$ es igual a ${\rm fp}_{I}$ y exhibimos una f\'ormula expl\'icita en t\'erminos de los grados de un conjunto minimal de generadores de $I$.