¿Para qué axiomatizar una teoría matemática?

Autor: Ivonne Pallares Vega
El primer objetivo es el de familiarizar a los estudiantes con la teoría de conjuntos como caso particular de una teoría para la cual existen al menos dos axiomatizaciones conceptualmente distintas. El segundo objetivo del taller es que, a través de un breve análisis de estas dos axiomatizaciones, el estudiante pueda concebir sus diferencias conceptuales como respuestas matemáticas distintas a la pregunta acerca de lo que se busca al axiomatizar una teoría. Temas a tratar 1. Contexto histórico de la axiomatización de Zermelo (1908) y de la axiomatización de la teoría de conjuntos como un tipo especial de categoría (1963 y 2003). 2. El concepto elemental de pertenencia y su caracterización mediante ciertos axiomas de la teoría de conjuntos. Se hará énfasis en que la presentación y motivación que usualmente se da de estos axiomas es distinta de las cuestiones que originalmente motivaron a Zermelo al presentar sus axiomas en 1908. En el taller se presentarán las características generales de esta distinción y se utilizarán los axiomas de la teoría de conjuntos tal y cómo estos son usualmente presentados en textos introductorios. 3. El concepto elemental de morfismo y los axiomas que lo caracterizan. 4. Algunas definiciones en teoría de categorías que son relevantes para los objetivos de este taller (isomorfismo, objetos inicial y terminal, igualador, clasificador de subobjetos, monomorfismo, epimorfismo, entre otros). 5. A través de ejemplos, se explicará el contraste que existe entre, por un lado, la igualdad entre conjuntos como consecuencia de algunos de los axiomas de la teoría de conjuntos; y, por otro lado, la unicidad salvo isomorfismo de ciertas construcciones en teoría de categorías. 6. Comparación entre algunos de los axiomas de la teoría de conjuntos y ciertos axiomas de la categoría de conjuntos. 7. Consecuencias de esta comparación como respuesta a la pregunta acerca del o de los objetivos que se buscan al axiomatizar, de dos maneras conceptualmente distintas entre sí, una teoría como la teoría de conjuntos.