Ecuación de Beltrami y Logaritmo Complejo

Autor: Antonio Luis Baisón Olmo

Sea $\phi\in W^{1,2}_{loc}\left(\,\C\,\right)$ la soluci\'on cuasiconforme principal de la \emph{Ecuaci\'on de Beltrami} $$\overline{\partial}\phi\,-\,\mu\,\partial\phi\,=\,0\,$$ donde $\mu\in L^\infty_c\left(\,\C\,\right)$ con $\left\|\,\mu\,\right\|_{\infty}= k<1$. Entonces, cuando tenga sentido, la aplicaci\'on $\log\left(\,\partial\phi\,\right)$ ser\'a a su vez una soluci\'on de la \emph{Ecuaci\'on de Beltrami no Homog\'enea} $$\overline{\partial}\log\left(\,\partial\phi\,\right)\,-\,\mu\,\partial\log\left(\,\partial\phi\,\right)\,=\,\partial\mu\,.$$ As\'i, cuando $\mu\in W^{1,p}_c\left(\,\C\,\right)$ con $p>1+k$, la regularidad de $\log\left(\,\partial\phi\,\right)$ es conocida v\'ia el \emph{Teorema de la Aplicaci\'on Medible de Riemann}. En esta charla veremos el caso en el que $\mu\in W^{1,p}_c\left(\,\C\,\right)$ con $p leq 1 + k$. Es decir, all\'i donde dicho teorema no puede aplicarse. c (C) con p > 1 + k, la regularidad de log ( @ ) es conocida va el Teorema de la Aplicacion Medible de Riemann. En este escrito estudiaremos el caso en el que  2 W1;p c (C) con 1 < p  1+k. Es decir, all donde dicho teorema no puede aplicarse.