La combinatoria de Catalan y las estructuras aritméticas del camino.

Autor: Carlos Enrique Valencia Oleta
Los números de Catalan aparecen a lo largo de la Matemática y en especial de la Combinatoria. En 2015 apareció el libro de Richard Stanley titulado "Números de Catalan", el cual contiene más de 200 interpretaciones de los números de Catalan. La combinatoria de Catalan se refiere a todo conjunto de objetos que pueden ser contados o interpretados como números de Catalan. En esta plática intentaremos dar una idea más concreta de lo que esto significa, usando como ejemplo las estructuras aritméticas de un camino. Empezaremos presentando el triángulo de Catalan formado por los números de votación. En este sentido el triángulo de Catalan es similar al triángulo de Pascal formado por los coeficientes binomiales que todos conocemos. Inmediatamente veremos que uno de los objetos más simples que pueden ser contados por los números de Catalan son caminos reticulares que no pasan de la recta x=y. Después de esto introduciremos el concepto de estructura aritmética de una gráfica, las cuales se pueden ver como soluciones de una ecuación Diofantina. Veremos cómo en el caso de un camino sus estructuras aritméticas son contadas por los números de Catalan y en general por los números de votación. Finalmente, y si el tiempo lo permite, veremos cómo las estructuras aritméticas del camino están en biyección con las triangulaciones de un polígono, las cuales son otra interpretación conocida de los números de Catalan.