Campos de géneros extendidos de campos numéricos

Ponente(s): Elizabeth Ramírez Ramírez, Dra. Martha Rzedowski Calderón

El estudio de campos de g\'eneros extendidos se remonta a C.F. Gauss, quien introdujo el concepto de g\'enero en el contexto de formas cuadr\'aticas. Durante la primera mitad del siglo pasado, el concepto fue importado a campos de n\'umeros cuadr\'aticos. H. Hasse estudi\'o la teor\'ia de g\'eneros de los campos num\'ericos cuadr\'aticos. Para un campo num\'erico $ K $, A. Fr\"ohlich defini\'o el campo de g\'eneros de $ K $ (con respecto al campo racional $ {\field{Q}} $) como $ K _ {\mathfrak {g}}: = K\omega $ donde $ \omega / {\field{Q}} $ es la m\'axima extensi\'on abeliana tal que $ K\omega / K $ es no ramificada en todos los primos. Del mismo modo, el campo de g\'eneros extendido es $ K _ {\mathfrak {g^+}} := K\Omega $ donde $ \Omega / {\field{Q}} $ es la m\'axima extensi\'on abeliana tal que $ K\Omega / K $ es no ramificada en los primos finitos. El campo de clases de Hilbert $ K_H $ y el campo de clases de Hilbert extendido $ K_ {H ^ +} $ de un campo num\'erico $ K / {\field{Q}} $ se definen como la m\'axima extensi\'on abeliana no ramificada y como la m\'axima extensi\'on abeliana no ramificada en los primos finitos de $ K $, respectivamente. De esta manera, los conceptos de campo de g\'eneros y de campo de g\'eneros extendido se relacionan con los conceptos de campo de clases de Hilbert y de campo de clases de Hilbert extendido, respectivamente. En esta plática se describirá, utilizando la teor\'ia de campos de clases, el campo de g\'eneros extendido de un campo num\'erico. Por el Teorema de Kronecker-Weber, cualquier extensi\'on abeliana de $ {\field{Q}} $ es ciclot\'omica, es decir, est\'a contenida en un campo de n\'umeros ciclot\'omico. En este caso, se encuentran las ``$ p $ - componentes'' de $\Omega$ expl\'icitamente para $ p \geq 3 $ dependiendo s\'olo de su grado sobre $ {\field{Q}} $. En el caso $ p = 2 $ no depende s\'olo de su grado sobre $ {\field{Q}} $ ya que, para $ n \geq 3 $, el campo ciclot\'omico $ \field{Q} \lp \zeta_ {2^n} \rp $ no es c\'iclico. Damos un criterio para describir la $2$-componente de $ K _ {\mathfrak {g}^+} $.