Sumas exponenciales de Mordell

Ponente(s): Victor Cuauhtemoc Garcia Hernandez

{\bf Resumen} \end{center} \medskip \noindent La combinatoria aditiva es un \'area cl\'asica fuertemente vinculada con la teor\'{i}a de n\'umeros. En los \'ultimos 15 a\~nos el estudio de los fen\'omenos de suma--producto y crecimiento en grupos tuvieron un impacto trascendente. De manera particular, las nuevas perspectivas fueron fundamentales para obtener sumas exponenciales nunca antes vistas. \medskip \noindent En esta charla haremos una inspecci\'on entorno al trabajo de Jean Bourgain sobre sumas exponenciales de Mordell. Partiremos desde una descripci\'on hist\'orica y aprovecharemos la oportunidad para compartir ideas cl\'asicas empleadas en el estudio del problema. Posteriormente se expondr\'a la t\'ecnica de Bourgain con \'enfasis en las herramientas basadas en el fen\'omeno de suma--producto que hicieron posible obtener resultados excepcionales en las sumas exponenciales de Mordell. Para finalizar se presentar\'a una prueba alternativa del Teorema de Bourgain fundamentada en los resultados de Helfgott et al. sobre crecimiento de conjuntos en grupos lineales sobre $\mathbb{F}_p.$