Hyperbolic GeometPy: combinatoria, álgebra, geometría y programación

Autor: Daniel Labardini Fragoso
Sergey Fomin y Andrei Zelevinsky inventaron las álgebras de conglomerado hace casi 20 años. En menos de dos décadas, las álgebras de conglomerado han encontrado conexiones con muchas áreas de las matemáticas, entre las que figuran la Geometría Hiperbólica y la Teoría de Teichmüller. Empezaré esta exposición hablando de una operación combinatoria muy simple, llamada mutación, que se aplica a gráficas dirigidas y cuya aplicación recursiva permite producir los generadores de un anillo al que Fomin y Zelevinsky llaman álgebra de conglomerado. Presentaré una bella identidad descubierta por Robert Penner en el plano hiperbólico, y describiré cómo tal identidad permite que las álgebras de conglomerado aparezcan como anillos coordenados de espacios de Teichmüller de superficies con pinchaduras, como establecieron Sergey Fomin, Michael Shapiro y Dylan Thurston, y Vladimir Fock y Alexander Goncharov. Finalizaré con una demostración de 'Hyperbolic GeometPy', un programa que, motivado por todo lo anterior, he escrito para interactuar con el plano hiperbólico y visualizar cosas como órbitas y curvas invariantes de transformaciones de Möbius, envolventes convexas hiperbólicas, geodésicas hiperbólicas con rapidez constante, movimiento circular con velocidad angular constante, y teselaciones del plano hiperbólico por acciones de grupos Fuchsianos.