A la búsqueda de patrones complejos en sistemas fraccionarios

Autor: Jorge Eduardo Macías Díaz
Esta charla tratará sobre la búsqueda sistemática de patrones de Turing en sistemas no lineales. El problema de determinar condiciones bajo las cuales dichos patrones aparecen en sistemas no lineales, es un tema de interés físico, matemático, numérico y computacional. Los patrones de Turing aparecen en varios problemas de la ciencia y la ingeniería, y su predicción matemática y numérica es un problema de interés. En esta plática, consideraremos un problema más general: el estudio de patrones de Turing en modelos hiperbólicos fraccionarios no lineales. Para abordarlo, introduciremos el concepto de Laplaciano fraccionario, motivados por problemas físicos concretos. Hecho esto, se estudiarán matemáticamente algunos problemas de ingeniería química, y se derivarán condiciones que garantizan la presencia de dichos patrones, así como de inestabilidades de onda. El uso de herramientas de análisis no lineal será de fundamental trascendencia en este punto. Posteriormente, en vista de las limitaciones matemáticas existentes, se motivará el desarrollo de métodos numéricos confiables para el estudio de dichos patrones. A continuación, se hablará de la problemática computacional para resolver sistemas fraccionarios, y se propondrá un método susceptible de ser implementado usando cómputo en paralelo. Finalmente, se proporcionarán varias simulaciones en 2 y 3 dimensiones que atestiguan la aparición de patrones de Turing en algunos sistemas alineales. De esta forma, la charla tratará de abarcar un amplio espectro de la investigación en matemáticas. Más precisamente, motivados por un problema de la ingeniería y la ciencia, se propondrá un modelo matemático, el cual será analizado inicialmente usando herramientas matemáticas. A continuación, se propondrá un modelo numérico confiable para su simulación (el cual será analizado teóricamente), y se propondrá un modelo computacional eficiente para su implementación. Finalmente, se obtendrán simulaciones que confirman los resultados analíticos, y que abren la posibilidad para nuevas preguntas de investigación.