Representaciones de conjuntos finitos y correspondencias

Autor: Serge Bouc
Coautor(es): Jacques Thévenaz (EPFL)
En este trabajo con Jacques Thévenaz (EPFL), consideramos la categoría $\mathcal{C}$ de conjuntos finitos, donde los morfismos son correspondencias en lugar de aplicaciones. Desarrollamos la teoría de los functores de correspondencias, i.e. funtores de $\mathcal{C}$ a la categoría de $k$-m\'odulos, donde $k$ es un anillo conmutativo. Esos funtores forman una categoría abeliana $\mathcal{F}_k$, que tiene propiedades notables. Si $k$ es noetheriano, cada subfuntor de un funtor de tipo finito es de tipo finito también. Si $k$ es un campo, los funtores de tipo finito tienen una finita serie de composición, y son caracterizados por el crecimiento exponencial de sus evaluaciones. Además, un funtor de tipo finito es proyectivo si y solamente si es inyectivo. Asociamos un funtor de correspondencias $F_T$ a cada retícula finita $T$, y caracterizamos las retículas distributivas en esos terminos. Asociamos también un functor fundamental $\mathbb{S}_E$ a cada conjunto finito parcialmente ordonado $E$, que permite una descripción completa de los objetos simples de $\mathcal{F}_k$, cuando $k$ es un campo. Determinamos en particular la dimension de las evaluaciones de los funtores simples. Por lo tanto obtenemos una descripción de todos los módulos simples de la álgebra del monoide de las relaciones sobre un conjunto finito.