Sobre el espectro de operadores unidimensionales de Schrödinger con potenciales singulares periódicos

Autor: Víctor Barrera Figueroa
Coautor(es): Vladimir S. Rabinovich
La plática está dedicada a estudiar las propiedades espectrales de los operadores de Schrödinger unidimensionales \begin{equation} S_{q}u\left(x\right)=\left(-\frac{d^{2}}{dx^{2}}+q\left(x\right)\right)u\left(x\right),\quad x\in\mathbb{R},\label{eq1} \end{equation} con potenciales $q=q_{0}+q_{s}$, donde $q_{0}\in L^{\infty}\left(\mathbb{R}\right)$ es un potencial regular, y $q_{s}\in\mathcal{D}^{\prime}\left(\mathbb{R}\right)$ es un potencial singular con soporte sobre un conjunto infinito discreto $\mathcal{Y}\subset\mathbb{R}$. Consideramos la extensión $\mathcal{H}$ del operador formal (\ref{eq1}) a un operador no-acotado en $L^{2}\left(\mathbb{R}\right)$ definido por el operador de Schrödinger $S_{q_{0}}$ con el potencial regular $q_{0}$ y condiciones de acoplamiento en los puntos del conjunto $\mathcal{Y}$. Estudiamos las propiedades del operador $\mathcal{H}$ en el caso cuando el conjunto $\mathcal{Y}\simeq\mathbb{Z}$ tiene una estructura periódica, y damos una descripción del espectro esencial del operador $\mathcal{H}$ en términos de los operadores límite. Para potenciales periódicos $q_{0}$ consideramos la teoría de Floquet de $\mathcal{H}$, y aplicamos el método de series de potencias del parámetro espectral (método SPPS) para determinar la estructura de bandas de los operadores periódicos.