Dominio óptimo de operadores lineales definidos en espacios funcionales de Banach

Autor: José Luis Hernández Barradas
\begin{theorem} Sean $(\Omega,\Sigma,\mu)$ un espacio de medida finita, X un $\mu$-espacio funcional de Banach $\sigma$-orden continuo, E un espacio de Banach y $T:X\rightarrow E$ un operador lineal, continuo y $\mu$-determinado. Si $m_T$ es la medida vectorial definida por $m_T(A)=T(\chi_A), \forall A\in\Sigma$, entonces $L^1(m_T)$ es el $\mu$-espacio funcional de Banach $\sigma$-orden continuo más grande que contiene a X sobre el cual T admite una extensión lineal y continua. \end{theorem} En esta plática explicaremos a detalle los aspectos del teorema anterior que a grandes rasgos nos dice, bajo ciertas condiciones, cual es el dominio más grande al cual se puede extender continuamente un operador T. Posteriormente analizaremos un caso más general, en el cual la medida no necesariamente es finita. Para poder estudiar este caso será necesario utilizar teoría de integración sobre $\delta$-anillos y, haciendo uso de ella, analizaremos bajo qué condiciones se puede generalizar el teorema anterior al caso de medidas no necesariamente finitas.