Algunos ejemplos en Teoría de Lie

Autor: Juan Manuel Buchanan Espíndola
Son numerosas las situaciones de estudio prácticas/aplicadas/puramente-teóricas en las que surge de manera natural una estructura que es grupo y variedad diferenciable al mismo tiempo como aquel aparato que posibilita el estudio de alguna situación en particular. Lo que la teoría de Lie hace es estudiar a esos entes que se comportan como grupo y variedad al mismo tiempo y producir resultados que todo ente que cumpla ambas propiedades va a tener, éste tipo de objetos son los que reciben el nombre de Grupos de Lie y sus aplicaciones son tan numerosas como aquellos problemas que les dan origen de manera natural. Los conceptos de la Teoría de Lie son generales y en abstracto, pero con algunos grupos específicos se pueden dar interpretaciones bastante claras de qué es lo que representan y así lograr aterrizar mucho de la Teoría, ¿qué es el Corchete de Lie y qué hace?, ¿qué es el mateo exponencial entre un álgebra de Lie y su grupo de Lie y porqué generaliza a los mareos exponenciales que nos son conocidos de cálculo real y de variable compleja?, ¿campo izquierdo invariante, qué es eso?, ¿qué es y cómo calcular el álgebra de Lie asociada a un grupo de Lie?, ¿porqué cuando el grupo es conmutativo muchas cosas se simplifican y cuando no lo es pareciera que cierta información se esconde detrás? En particular y para la última pregunta, el corchete de Lie cristaliza lo tanto que una operación de grupo está alejada de ser conmutativa y da una visión más completa del grupo completo en donde se puede interpretar e ilustrar un concepto tan usual en matemáticas como aquel de conmutatividad; sí, un concepto tan escencial como el de conmutatividad esconde cosas y con los grupos de Lie se hace evidente lo que hay detrás del concepto y más pues las cosas indican que uno de los aspectos de la Teoría de Lie es el mismo concepto en sí que llega a nosotros ya más transparente. En la plática voy a presentar tres grupos de Lie bastante conocidos y en ellos ilustraré los conceptos mencionados para brindar un panorama general de cómo es que cosas que en el trabajo son en abstracto, en seco y súper generales tienen fuerza y valor por sí solos, precisamente por lo generales que son.