Geometría hiperbólica

Ponente(s): Ingrid Midory Monterroso Alfaro

En el libro primero Euclides empieza el desarrollo de su teoría mediante 23 definiciones, 5 postulados y 5 nociones comunes. Los cinco postulados que enuncia Euclides en su primer libro son los siguientes: I. Desde cualquier punto a cualquier otro punto se puede trazar un segmento. II. Cada segmento se puede prolongar por derecho. III. Con cada centro y cualquier distancia se puede trazar un círculo. IV. Los ángulos rectos son iguales. V. Si una recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, al prolongar las dos rectas se cortan por el lado en el que están los dos ángulos menores que dos rectos. En el siglo XIX matemáticos como Bolyai, Lobachevsky y Gauss demostraron que existían otros sistemas geométricos en los que no se cumplía el quinto postulado pero sí los cuatro primeros reafirmando entonces la independencia del mismo. De esta manera se dio lugar a lo que hoy se conoce como geometrías no euclidianas que surgen del hecho de negar el quinto postulado de dos maneras posibles: 1. Por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna paralela a la recta dada. 2. Por un punto exterior a una recta pasan dos paralelas que separan las infinitas rectas no secantes de las infinitas secantes. Es así como de la primera negación junto con los cuatro primeros postulados conduce a la hoy conocida como geometría elíptica y de la segunda negación junto con los cuatro primeros postulados dio lugar a la geometría hiperbólica. El plano hiperbólico puede representarse en dos modelos: el semiplano superiror que. Mediante una transformación, llamada la transformación de Cayley podemos ir de un modelo a otro. Por último trataré los grupos de isomorfismos del plano hiperbólico.