Adaptaciones analíticas de una prueba topológica de metrización para espacios cuasimétricos

Autor: Rodrigo Malagón Rodríguez
Se sabe que no en todo espacio cuasimétrico las bolas son conjuntos abiertos, lo cual es a priori un problema si se trabaja, por ejemplo, con espacios con una medida de Borel. Sin embargo, como los espacios cuasimétricos son espacios topológicos uniformes de Hausdorff y con base de uniformidad numerable, entonces son metrizables por un célebre teorema de Alexandroff y Urysohn (1923). Algunas ideas de la prueba de este resultado, expuesta por ejemplo en el libro de Kelley (1955), han sido adaptadas para dar desmotraciones con un matiz más afín a preguntas y problemas propios del análisis matemático. Algunas partes de las adaptaciones mencionadas se han implementado en una clase de espacios cuasimétricos dotados de una medida de Borel con crecimiento controlado sobre las bolas. Estos son los llamados espacios de tipo homogéneo de Coifman y Weiss (1971). En esta plática proponemos exponer algunos desarrollos conceptuales y ejemplos de estas ideas analíticas basadas en la mencionada prueba topológica, pasando por ideas de Frink (1937), Macías y Segovia (1979), Aimar, Iaffei y Nitti (1998), Paluszynski y Stempak (2009), culminando con una aplicación que proporciona una versión mejorada de un teorema de punto fijo sobre espacios cuasimétricos, recientemente obtenida por Van Dungen y Van An (2017). La preparación y estudio de estos temas se llevó a cabo en el marco del XXIX Verano de la Investigación de la Academia Mexicana de Ciencias, bajo la supervisión del Dr. Jorge Rivera Noriega.