Principios sin Axioma de Martin y sucesiones de cuadrado

Autor: Víctor Torres Pérez
En esta charla nos enfocaremos en principios que son independientes o incluso incompatibles con el Axioma de Martin. Sin embargo, comparten consecuencias similares a los axiomas similares clásicos como PFA o MM. Hablaremos en primer lugar de la Conjetura de Rado (RC). Ese principio de compacidad establece, en la versión de Todorcevic, que todo árbol de altura $\aleph_1$ es no especial (no es unión numerable de anticadenas) contiene un subárbol de tamaño $\aleph_1$ que también es no especial. Este principio implica la Hipótesis del Cardinal Singular, el continuo es a lo más $\aleph_2$, la propiedad del árbol para $\aleph_2$, etc. Observaremos que actualmente se tiene un panorama completo de la relación de RC y su relación con los cuadrados de la forma $\Box_{\kappa, \lambda}$, muy similar a MM. Veremos recientes resultados de la relación de RC con cuadrados de la forma $\Box(\theta, \lambda)$. Al final de la charla, nos concentraremos en un axioma de forcing introducido por Zapletal y Chodounsky llamada YPFA, que es una consecuencia de PFA, pero tiene la particularidad que no implica el Axioma de Martin, sin embargo, preserva muchas otras implicaciones como hacer el continúo $\aleph_2$. Mencionaremos nuestro reciente trabajo con D. Chodousnky and L. Wu con respecto a $YPFA$ y las propiedades de árbol y cuadrados de la forma $\Box(\theta, \lambda)$.