Ecuaciones algebraicas diferenciales con coeficientes constantes

Autor: Erick Salgado Matias
Coautor(es): Gabriel Kantún Montiel
Generalmente el comportamiento dinámico de los procesos físicos se modela a través de ecuaciones diferenciales, pero si los estados del sistema físico están restringidos de alguna manera, por ejemplo; leyes de conservación como las leyes de Kirchhoff en redes eléctricas, entonces el modelo matemático también contiene ecuaciones algebraicas para describir tales restricciones. Estos sistemas que consisten de ecuaciones diferenciales y algebraicas, se denominan sistemas algebraicos diferenciales o sistemas algebro-diferenciales. La forma más general de encontrar un sistema de ecuaciones algebraicas diferenciales es: F(t,x(t),x^' (t))=0, F:I×D_x×D_x'→C^m con I⊂R un intervalo compacto, D_x,D_x'⊆C^n vecindades abiertas y m,n∈N. Hay varios caminos que se pueden seguir para el estudio de las ecuaciones algebraicas diferenciales (EAD). Un análisis muy general viene dado por el análisis geométrico iniciado por Rheinboldt, en el cual se estudian ecuaciones diferenciales-algebraicas como ecuaciones diferenciales en variedades. Sin embargo, nuestro enfoque principal será el camino algebraico que conduce desde la teoría de haces de matrices, utilizado por Weierstrass y Kronecker a través del trabajo fundamental de Campbell sobre matrices derivadas, a formas canónicas para sistemas lineales con coeficientes variables y sus extensiones a sistemas no lineales. Este enfoque algebraico no solo proporciona un enfoque sistemático para el análisis clásico de ecuaciones algebraicas diferenciales regulares, sino que también permite el estudio de soluciones generalizadas y el tratamiento de sistemas sobre-determinados e indeterminados, así como problemas de control. En este trabajo consideraremos EAD con coeficientes constantes de la forma Ex^'=Ax+f(t) (2.1), donde E,A∈C^(m,n) y f∈C(I,C^m) posiblemente con condición inicial x(t_0 )=x_0, para después plantearnos la siguiente pregunta: ¿Es posible obtener una representación explicita de las soluciones de ecuaciones del tipo (2.1) en términos de los datos originales E,A y f? Para responder a tal pregunta nuestro sistema de interés será representado en forma matricial y utilizaremos inversas tipo Drazin y Drazin generalizada, para presentar algunos resultados relacionados con el estudio de EAD lineales del tipo (2.1).