Topología de densidad

Autor: Gustavo Chinney Herrera
Coautor(es): Alejandro Darío Rojas Sánchez
Como resultado del trabajo de Goffman y Waterman acerca de funciones aproximadamente continuas, nace una topología en $\mathbb{R}$ que es más fina que la euclidiana y, aunque no ahondaremos en estas, obtendremos frutos del nuevo espacio. Diremos que un punto $x \in \mathbb{R}$ es de densidad $d$ en un medible $M$ si $$ d= \lim_{h\to 0^+} \frac{\lambda (M\cap [x-h,x+h])}{2h}. $$ Definimos $\Phi(M)= \lbrace x \in \mathbb{R} : x \text{ es de densidad } 1 \text{ en } $M$ \rbrace$. Haremos que un medible sea un abierto si $M \subset \Phi(M)$, siendo esta la topología de densidad. Indagaremos en su estructura topológica y veremos que es rica en propiedades interesantes, dando lugar a varios contraejemplos. Finalmente veremos algunos resultados que se obtienen con la Teoría de Conjuntos; asimismo, investigaremos ciertas desigualdades que se tienen con las funciones cardinales de este espacio.