Operadores verticales en varios espacios de Hilbert con núcleo reproductor
Ponente(s): Christian Rene Leal Pacheco, Egor Maximenko y Gerardo Ramos Vázquez
Sea $\mathcal{H}$ un espacio de Hilbert con n\'ucleo reproductor de funciones definidas en el semiplano
superior $\Pi\subset\mathbb{C}$ que pertenecen a la clase $L^2(\Pi)$.
Suponemos que el espacio $\mathcal{H}$ es invariante bajo
desplazamientos horizontales $V_a$ que para cada $a$ en $\mathbb{R}$ se definen por
\[
(V_a f)(u,v):= f(u-a,v).
\]
Consideremos el \'algebra $\mathcal{V}$ de los operadores lineales acotados que conmutan con todos los operadores
de desplazamiento, es decir,
\[
\mathcal{V} := \{ S\in\mathcal{B}(\mathcal{H})\colon \quad \forall\,a\in\mathbb{R}\quad V_a S=S V_a \}.
\]
Usando el operador $\Phi := F\otimes I$,
es decir, la transformada de Fourier en la direcci\'on horizontal, descomponemos el \'algebra $\mathcal{V}$
en una integral directa de \'algebras de la siguiente forma:
\[
\Phi \mathcal{V} \Phi^\ast
=\int_{\xi\in\Omega}^{\oplus}\mathcal{B}(\widehat{H}_\xi)\,\mathrm{d}\xi,
\]
donde $\widehat{H}_\xi$ es la fibra correspondiente
a la frecuencia $\xi$,
y $\Omega\subseteq\mathbb{R}$ es el conjunto de las
frecuencias con $\dim(\widehat{H}_\xi)>0$.
Aplicando este esquema general, estudiamos los operadores verticales en los espacios de funciones anal\'{i}ticas,
arm\'{o}nicas, polianal\'{i}ticas y poliarm\'{o}nicas.
En cada uno de los casos determinamos si el \'{a}lgebra $\mathcal{V}$ es conmutativa.
Con este m\'{e}todo generalizamos varios resultados
de Grudsky, Karapetyants, Hutn\'{i}k, Hutn\'{i}kov\'{a}, Loaiza, Lozano, Mi\v{s}kov\'{a},
S\'{a}nchez-Nungaray y Ram\'{i}rez Ortega, entre otros autores.