Operadores verticales en varios espacios de Hilbert con núcleo reproductor

Autor: Christian Rene Leal Pacheco
Coautor(es): Egor Maximenko y Gerardo Ramos Vázquez
Sea $\mathcal{H}$ un espacio de Hilbert con n\'ucleo reproductor de funciones definidas en el semiplano superior $\Pi\subset\mathbb{C}$ que pertenecen a la clase $L^2(\Pi)$. Suponemos que el espacio $\mathcal{H}$ es invariante bajo desplazamientos horizontales $V_a$ que para cada $a$ en $\mathbb{R}$ se definen por \[ (V_a f)(u,v):= f(u-a,v). \] Consideremos el \'algebra $\mathcal{V}$ de los operadores lineales acotados que conmutan con todos los operadores de desplazamiento, es decir, \[ \mathcal{V} := \{ S\in\mathcal{B}(\mathcal{H})\colon \quad \forall\,a\in\mathbb{R}\quad V_a S=S V_a \}. \] Usando el operador $\Phi := F\otimes I$, es decir, la transformada de Fourier en la direcci\'on horizontal, descomponemos el \'algebra $\mathcal{V}$ en una integral directa de \'algebras de la siguiente forma: \[ \Phi \mathcal{V} \Phi^\ast =\int_{\xi\in\Omega}^{\oplus}\mathcal{B}(\widehat{H}_\xi)\,\mathrm{d}\xi, \] donde $\widehat{H}_\xi$ es la fibra correspondiente a la frecuencia $\xi$, y $\Omega\subseteq\mathbb{R}$ es el conjunto de las frecuencias con $\dim(\widehat{H}_\xi)>0$. Aplicando este esquema general, estudiamos los operadores verticales en los espacios de funciones anal\'{i}ticas, arm\'{o}nicas, polianal\'{i}ticas y poliarm\'{o}nicas. En cada uno de los casos determinamos si el \'{a}lgebra $\mathcal{V}$ es conmutativa. Con este m\'{e}todo generalizamos varios resultados de Grudsky, Karapetyants, Hutn\'{i}k, Hutn\'{i}kov\'{a}, Loaiza, Lozano, Mi\v{s}kov\'{a}, S\'{a}nchez-Nungaray y Ram\'{i}rez Ortega, entre otros autores.