El núcleo reproductor del espacio poliananítico de Bergman sobre el disco

Autor: Gerardo Ramos Vázquez
Coautor(es): Roberto Moisés Barrera Castelán, Egor Maximenko
En 1970, S. Bergman encontró el núcleo reproductor del espacio $\mathcal{A}^2(\mathbb{D})$, que consiste de las funciones holomorfas en el disco abierto unitario que pertenecen a la clase $L^2(\mathbb{D})$. En este trabajo, consideramos el espacio de Bergman de funciones $n$-analíticas sobre el disco unitario, es decir, el espacio de funciones suaves y cuadrado integrables en $\mathbb{D}$ que cumplen con la ecuación \[ \left(\frac{\partial}{\partial \overline{z}}\right)^{n} f=0. \] En 1977, A. Koshelev demostró que este espacio tiene núcleo reproductor, y lo expresó como una suma de $n$ sumandos. Nosotros mostramos que este núcleo reproductor se puede expresar en términos de polinomios desplazados de Jacobi con parámetros $1$ y $0$: \[ K_{n,z}(w) =\frac{|1-\overline{z} w|^{2n-2}}{(1-\overline{z}w)^{2n}} \,n P_{n-1}^{(1,0)}(1-2|\varphi_z(w)|^2). \] Aquí $\varphi_z$ denota la transformada de Möbius $\varphi_z(w)=(z-w)/(1-\overline{z}w)$. Esta charla contiene una breve introducción a la teoría de espacios de Hilbert con núcleo reproductor y es accesible para alumnos de los últimos semestres de la licenciatura en matemáticas.