Soluciones de varios picos para la ecuaciĆ³n de Yamabe en variedades producto

Autor: Juan Miguel Ruiz Zepeda
Coautor(es): Carolina Rey
Sean $(M^n,g)$ y $(X^m,h)$ variedades Riemannianas cerradas, con $n\geq 3$. En esta pl\'atica revisaremos el problema de multiplicidad de soluciones para la ecuaci\'on de Yamabe en productos Riemannianos $(M\times X , g+ \epsilon^2 h )$, donde la curvatura escalar $s_h$ es constante y positiva, mientras que la curvatura escalar $s_g$ es no constante y $\epsilon>0$ es un n\'umero muy peque\~no. En particular, dado un m\'inimo local de $s_g$, $x_0 \in M$, hablaremos de la existencia de soluciones positivas con $k$ picos, de la ecuaci\'on de Yamabe subcr\'itica: $$-\epsilon^2 \Delta_g u +(1+ c_{N} \ \epsilon^2 s_g ) u= u^q,$$ \noindent donde $N=n+m>n$, $c_N = \frac{N-2}{4(N-1)}$, $q= \frac{N+2}{N-2}$ y $k$ es un entero positivo cualquiera. Veremos tambi\'en que estas soluciones se concentran alrededor del punto $x_0$ conforme $\epsilon\rightarrow0$. Esta pl\'atica est\'a basada en un trabajo en colaboraci\'on con Carolina Rey.