Recaptura Clásica en Matemáticas Inconsistentes

Ponente(s): Manuel Eduardo Tapia Navarro

Sea M una teoría matemática inconsistente: una teoría de conjuntos ingenua, aritmética inconsistente, etc. Muchos de los proyectos para desarrollar estás teorías tienen como uno de sus objetivos la recaptura clásica. La recaptura clásica consiste en que la contraparte clásica de M (o al menos una parte significativa de ésta) se preserve en M, o aparezcan como casos especiales. Diremos que una teoría matemática M* es la contraparte clásica de M si y sólo si (i) están basadas en el mismo lenguaje, (ii) hay una intersección no trivial entre sus axiomas, (iii) la lógica subyacente de M es la lógica clásica y (iv) tienen el mismo dominio pretendido. Usualmente, las partes de las teorías clásicas que se busca preservar son teoremas o resultados de gran importancia de las teorías clásicas. Tras un análisis, las razones para buscar la recaptura clásica parecen reducirse a (i) la busqueda de tener el mismo objeto de estudio que la matemática clásica y (ii) asegurar la importancia matemática de las teorías no clásicas. En este artículo argumentaremos que la defensa de la matemática inconsistente no requiere perseguir el objetivo de la recaptura clásica. Usando la noción de propiedad universal obtenido de la teoría de categorías, argumentaremos que las teorías inconsistentes tienen el mismo objeto de estudio que la matemática clásica. Por otro lado, defenderemos que la importancia matemática de las teorías inconsistentes no depende de la recaptura clásica.