Buena Formulación Global Para Un Sistema De Ecuaciones de Dispersivas Con Coeficientes Dependientes del Tiempo

Autor: Juan Montealegre Scott
\documentclass[a4paper]{article} \usepackage{amsfonts} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[spanish]{babel} \usepackage{amsmath,amssymb,latexsym,amsthm,amscd} \setlength{\topmargin}{-0.25in} \setlength{\textheight}{9.25in} \setlength{\oddsidemargin}{0.0in} \setlength{\evensidemargin}{0.0in} \setlength{\textwidth}{6.25in} \begin{document} \begin{center} {\large \textbf{Buena Formulación Global Para Un Sistema De Ecuaciones de Dispersivas Con Coeficientes Dependientes del Tiempo}} J. Montealegre Scott jmscott@pucp.edu.pe Pontificia Universidad Católica Perú \end{center} En la conferencia será considerado el problema de Cauchy \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u+2\alpha \left( t\right) u\partial_{x}u+v\partial _{x}v+\partial _{x}\left( uv\right) =0, \\ \partial _{t}v+\partial _{x}^{3}v+u\partial _{x}u+2\beta \left( t\right) v\partial _{x}v+\partial _{x}\left( uv\right) =0, \\ u\left( x,0\right) =u_{0}\left( x\right) , \\ v\left( x,0\right) =v_{0}\left( x\right) , \end{array} \right. \label{P} \end{equation} en donde $u=u\left( x,t\right) \ $y $v=v\left( x,t\right) $ son funciones reales de las variables $x\in \mathbb{R}$ y $t\geq 0$, $\alpha $ y $\beta $ son funciones no negativas con $\alpha +\beta =1$, y las funciones $u_{0}$ y $v_{0}$ son los datos iniciales. El sistema en $\left( \text{\ref{P}}\right)$ tiene la estructura de dos ecuaciones de Korteweg-de Vries acopladas a través de los términos no lineales. Cuando $\alpha $ y $\beta $ son cantidades constantes positivas, obtenemos el sistema presentado por Y. Nutku y Ö. O\~{g}uz en \cite{NO}. Se demostrará que el problema $\left( \text{\ref{P}}\right) $ es globalmente bien formulado cuando $u_{0}$ y $v_{0}$ pertenecen al espacio de Sobolev $H^{s}\left(\mathbb{R}\right) $ para $s\geq 2$ y $\alpha ,\beta \in C\left(\mathbb{R}\right) $ son tales que $\alpha ^{\prime },\beta ^{\prime }\in L_{\text{loc}}^{1}\left( \mathbb{R}\right) $. La noción de buena formulación incluye: existencia, unicidad, propiedad de persistencia y continuidad de la solución con respecto a las funciones $\alpha $ y $\beta $ y los datos iniciales $u_{0}$ y $v_{0}$. El problema fundamental consiste en obtener un \emph{estimado a priori} que nos permita volver a aplicar la teoría local y extender la solución a una global. Usualmente, se considera el problema como una perturbación de un sistema hamiltoniano, sin embargo, esto no es apropiado en nuestro caso. Para resolver este problema, construimos algunos funcionales, que llamaremos "cantidades casi conservadas", que juegan esencialmente el mismo papel que las cantidades conservadas del sistema de Nutku y O\~{g}uz. \begin{thebibliography}{9} \bibitem{Bona-1} L. Bona, J. Cohen, G. Wang. \emph{Global well-posedness for a system of KdV-type equations with coupled quadratic nonlinearities}. Nagoya mathematical journal, 215 $\left( \text{2014}\right) $, 67-149. \bibitem{HL} H. Hu, Q.P. Liu . \emph{Decouple a coupled KdV system of Nutku and O\~{g}uz}. Phys. Lett. 294A $\left( \text{2002}\right) $, 84-86. \bibitem{NO} Y. Nutku, Ö. O\~{g}uz. \emph{Bi-Hamiltonian structure of a pair of coupled KdV equations}. Il Nuovo Cimento 105B $\left( \text{1990}\right) $ 1381-1383. \end{thebibliography} \end{document}