Sobre la racionalidad de la función zeta de una variedad algebraica: una aplicación del análisis p-ádico

Autor: Edgar Mosqueda Camacho
Dada una hipersuperficie sobre un campo finito, estamos interesados en determinar el número de puntos racionales sobre el campo base, así como en cada extensión finita. No obstante, hacer esto de manera eficiente es extremadamente difícil, por lo que tenemos que recurrir a una función generadora, llamada la función zeta de la hipersuperficie, la cual codifica la información sobre el número de puntos racionales. En esta charla, mostraremos que la función zeta de una hipersuperficie es una función racional usando herramientas del análisis p-ádico, y como esto implica que la función zeta de una variedad arbitraria es también una función racional (siendo esto la primera parte de la demostración de las conjeturas de Weil). Así mismo, veremos como la racionalidad de la función zeta permite saber de forma más eficiente el número de puntos racionales.