Es posible medir la distancia entre orbitas de sistemas no controlables pero exactamente controlables?
Ponente(s): Felipe Monroy PĂ©rez
Sea $G$ un grupo de Lie con algebra de lie $\mathfrak{g}$ y forma de
Killing $\mathcal{K}$ y sea
$$
\Sigma:\ \dot g=F(g,\mathbf{u}),
$$
\noindent un sistema de control en $G$.
Si el sistema es controlable, el teorema de la orbita garantiza que la
orbita $\mathcal{O}_{g}$ por un punto $g\in G$ es un subgrupo
$G$. Si el sistema no es controlable entonces dados dos puntos $g_1,g_2\in G$ se tiene que
$\mathcal{O}_{g_1}\cap\mathcal{O}_{g_2}=\emptyset$. Se define
$$
D_{G,\Sigma}=
\sup_{\xi_{1},\xi_{2}\in\mathfrak{g}}\
\inf_{g\in G}\mathcal{K}(\xi_{1}-g\cdot\xi_2).
$$
Grosso modo $D_{G,\Sigma}$ proporciona una manera de estimar la
distancia entre las orbitas, lo cual, de poderse realizar,
proporcionar\'a una herramienta importante para la dise\~{n}o de
controles en sistemas no-controlables que son exactamente
controlables. Se tiene entonces la siguiente pregunta natural.
\begin{quote}
?`Existe una constante universal $\kappa$ para la cual
$D_{G,\Sigma}=0$ o $D_{G,\Sigma}\geq\kappa$?
\end{quote}
A nuestro conocimiento no existe una respuesta general a esta
pregunta, ni un contraejemplo que muestre la inconsistencia del
problema.
Esta es una investigaci\'on en curso, en esta charla se presentan
algunos resultados preliminares en el caso en que $G$ es un grupo
compacto de matrices y $\Sigma $ es un sistema bilineal no controlable
pero exactamente controlable.