Es posible medir la distancia entre orbitas de sistemas no controlables pero exactamente controlables?

Autor: Felipe Monroy PĂ©rez
Sea $G$ un grupo de Lie con algebra de lie $\mathfrak{g}$ y forma de Killing $\mathcal{K}$ y sea $$ \Sigma:\ \dot g=F(g,\mathbf{u}), $$ \noindent un sistema de control en $G$. Si el sistema es controlable, el teorema de la orbita garantiza que la orbita $\mathcal{O}_{g}$ por un punto $g\in G$ es un subgrupo $G$. Si el sistema no es controlable entonces dados dos puntos $g_1,g_2\in G$ se tiene que $\mathcal{O}_{g_1}\cap\mathcal{O}_{g_2}=\emptyset$. Se define $$ D_{G,\Sigma}= \sup_{\xi_{1},\xi_{2}\in\mathfrak{g}}\ \inf_{g\in G}\mathcal{K}(\xi_{1}-g\cdot\xi_2). $$ Grosso modo $D_{G,\Sigma}$ proporciona una manera de estimar la distancia entre las orbitas, lo cual, de poderse realizar, proporcionar\'a una herramienta importante para la dise\~{n}o de controles en sistemas no-controlables que son exactamente controlables. Se tiene entonces la siguiente pregunta natural. \begin{quote} ?`Existe una constante universal $\kappa$ para la cual $D_{G,\Sigma}=0$ o $D_{G,\Sigma}\geq\kappa$? \end{quote} A nuestro conocimiento no existe una respuesta general a esta pregunta, ni un contraejemplo que muestre la inconsistencia del problema. Esta es una investigaci\'on en curso, en esta charla se presentan algunos resultados preliminares en el caso en que $G$ es un grupo compacto de matrices y $\Sigma $ es un sistema bilineal no controlable pero exactamente controlable.