Solución simbólica de ecuaciones diferenciales parciales con Maxima

Autor: Emmanuel Abelardo Roque Jiménez
Coautor(es): Dr. José Antonio Vallejo Rodríguez
En este trabajo presentaremos un paquete de Maxima (un sistema de álgebra computacional libre) llamado \texttt{pdefourier}, que calcula series de Fourier simbólicamente para funciones suaves a trozos. Usando el método de separación de variables puede resolver simbólicamente la ecuación de onda y calor en una dimensión en un dominio de la forma \([0,L]\), con condiciones generales de frontera de la forma: \begin{align*} \alpha_1 u(0,t)+\beta_1 u_x(0,t)&=h_1(t)\\ \alpha_2 u(L,t)+\beta_2 u_x(L,t)&=h_2(t) \end{align*} El paquete también puede resolver simbólicamente la ecuación de Laplace para varios dominios (rectángulos, discos, cuñas y anillos). En el caso de los anillos, puede resolver la ecuación con condiciones de Dirichlet, y para el caso de discos y cuñas con condiciones de Neumann también. En el caso de un dominio rectangular \([0,a] \times [0,b] \), el paquete puede resolver la ecuación de Laplace con condiciones mixtas de frontera de la forma: \[ \begin{cases} (1-\alpha)u(x,0)+\alpha u_y(x,0)=f_0(x) \quad 0\leq x \leq a \\ (1-\beta)u(x,b)+\beta u_y(x,b)=f_b(x) \quad 0 \leq x \leq a \\ (1-\gamma) u(0,y) + \gamma u_x (0,y)=g_0(y) \quad 0 \leq y \leq b \\ (1-\delta) u(a,y) + \delta u_x (a,y)= g_a(y) \quad 0 \leq y \leq b \end{cases} \] con \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \in \{ 0,1 \} \). Explicaremos los detalles técnicos de la implementación, y mostraremos diversos ejemplos donde nuestro programa tiene resultados comparables a programas comerciales reconocidos como Maple\textsuperscript{MR} y Mathematica\textsuperscript{MR} e incluso mejor en algunos casos, todo esto hecho únicamente con software libre.