Geometría de Espacios de Banach y Teoría de Renormamiento para Punto Fijo.

Ponente(s): Eduardo Martínez Anteo, Dr. Carlos Alberto Hernández Linares, Dr. Omar Muñiz Pérez

Dado un espacio de Banach X y C un subconunto no vacío, se dice que un operador T de C en C es no expansivo si || Tx - Ty || ≤ ||x - y || para todo x,y en C, y que C tiene la FPP(Fixed point property) si para todo operador no expansivo, este tiene al menos un punto fijo; así, se dice que X tiene la propiedad del punto fijo si para todo subconjunto C convexo, cerrado y acotado, este tiene la propiedad del punto fijo. La Teoría de Punto Fijo Métrica para espacios de Banach surge en el año de 1965 tras la publicación de tres artículos de F. E. Browder, D. Göhde y W. Kirk; en ellos se prueba que los espacios de Hilbert, los espacios uniformemente convexos y los espacios con estructura normal tienen la FPP, y ponen de manifiesta la estrecha relación entre la geometría de espacios de Banach y la Teoría de punto fijo. También se desprende de ellos la relación entre la propiedad del punto fijo (FPP) y la reflexividad, dicha pregunta ha sido estudiada durante varias décadas y permanece abierta parcialmente a la fecha; pues en el año de 2008 P. K. Lin demostró, utilizando una técnica de renormamiento, la existencia de un espacio de Banach con la FPP que no es reflexivo, a raíz de ello, utilizando técnicas de renormamiento, se han construido diversos espacios con la FPP que no son reflexivos. En el sentido opuesto de la pregunta acerca de la relación entre la FPP y reflexividad, en el año de 2009 T. Domínguez-Benavides demostró que todo espacio reflexivo puede ser renormado para tener la FPP. Lo expuesto anteriormente muestra la fuerte relación que existe entre el estudio de la FPP y los renormamientos.En el trabajo de tesis se abordaran los resultados clásicos de la Teoría de Punto Fijo que involucren la geometría de espacios de Banach y la Teoría de renormamiento.