Isometrías de espacios hiperbólicos y espacios simétricos de dimensión infinita

Autor: Arturo Sánchez González
De manera clásica se estudian representaciones ortogonales de grupos de Lie semisimples en espacios de Hilbert. Consideremos una generalización de esta idea, para ello, tomemos $H$ un espacio de Hilbert real separable (de dimensión infinita) dotado de una forma bilineal $B$ fuertemente no degenerada de índice $p$ mayor o igual a 1 (el índice es la dimensión máxima de un subespacio $B$-isotrópico) y sea $\mathrm{O}(p,\infty)$ el grupo de operadores lineales biyectivos en $H$ que preservan la forma $B$. En esta plática se presentan algunos resultados acerca de la existencia de representaciones irreducibles de $\mathrm{PO}(1,n)^{\circ}$ (la componente de la identidad del grupo de isometrías del espacio hiperbólico $n$-dimensional) en $\mathrm{O}(p,\infty)$ en los siguientes casos: (1) $n\geq1$ cuando $p=1$ y (2) $n\geq 3$ con $p=2$. El primer caso fue estudiado por N. Monod y P. Py y obtuvieron una clasificación de las representaciones irreducibles mediante una familia llamada serie principal esférica. Para el segundo caso se ha obtenido un resultado no existencia de tales representaciones. Posteriormente, se presentará un resultado análogo al caso (2) para pares de Gelfand $(G,K)$ donde $G$ tiene la propiedad $(T)$ de Kazhdan y se aplicará este resultado para probar la existencia de subespacios invariantes bajo representaciones continuas de $G$ en $\mathrm{O}(2,\infty)$.