Función característica de un problema espectral unidimensional tipo Schrödinger con interacciones puntuales

Autor: Raymundo Conde Vazquez
Coautor(es): Víctor Barrera-Figueroa, Vladimir S. Rabinovich
En este trabajo se estudia el operador unidimensional de Schr\"{o}dinger libre de unidades \[ Su=\left(-\frac{d^{2}}{dx^{2}}+q\left(x\right)\right)u,\quad x\in\mathbb{R} \] con una funci\'{o}n potencial $q$ que consta de dos partes: una parte singular que incluye interacciones puntuales tipo delta de Dirac y su primer derivada, de la forma $q_{s}\left(x\right)=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\delta\left(x-x_{i}\right)+\beta_{i}\delta^{\prime}\left(x-x_{i}\right)$, y un potencial regular $q_{r}\in L^{\infty}$ con soporte compacto que cumple ciertas condiciones de suavidad. Se establece una extensi\'{o}n auto-adjunta del operador $S$ en el espacio $L^{2}\left(\mathbb{R}\right)$ basada en el trabajo de Kurasov\cite{key-4}, la cual se define a partir del operador \[ \mathcal{H}u=\left(-\frac{d^{2}}{dx^{2}}+q_{r}\left(x\right)\right)u,\quad x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ x_{i}\right\} _{i=1}^{n}, \] adem\'{a}s de ciertas condiciones de frontera en los puntos $\left\{ x_{i}\right\} _{i=1}^{n}$ donde el potencial singular est\'{a} soportado. Se considera el problema espectral $\mathcal{H}u=\lambda u$ y se determina el espectro de $\mathcal{H}$ a partir de la ecuaci\'{o}n caracter\'{i}stica que resulta, la cual se obtiene de forma exacta a partir del m\'{e}todo de series de potencias del par\'{a}metro espectral, mejor conocido como m\'{e}todo SPPS\cite{key-3}. Los operadores de Schr\"{o}dinger del tipo $\mathcal{H}$ encuentran aplicaciones en el modelado de gu\'{i}as de onda electromagn\'{e}ticas y cu\'{a}nticas, las cuales tienen amplio inter\'{e}s pr\'{a}ctico. Finalmente se realiza el an\'{a}lisis num\'{e}rico para el calculo de los eigenvalores de $\mathcal{H}$ a partir de una implementaci\'{o}n computacional realizada en Wolfram Mathematica,donde las series de potencias del par\'{a}metro espectral que resultan se truncan hasta cierto numero finito $M$ de t\'{e}rminos, de modo que la ecuaci\'{o}n caracter\'{i}stica se reduce aproximadamente a una ecuaci\'{o}n polinomial. \begin{thebibliography}{1} \bibitem{key-3}Kravchenko VV, Porter RM. Math. Method Appl. Sci. $\mathbf{33}$: 459-468, 2012. \bibitem{key-4}Kurasov P. J. Math. Anal. App. $\mathbf{201}$: 297-323, 1996. \end{thebibliography}