Funciones analíticas entre espacios de Banach y una teoría elástica no lineal para medios deformables.

Autor: Homero Enrique De La Fuente García
La dinámica de un medio elástico lineal se basa en una relación constitutiva lineal entre el tensor de tensiones y el tensor de deformación de dicho medio elástico, ambos son tensores de rango dos. Usando esta relación constitutiva se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales parciales cuya incógnita es el vector desplazamiento del medio elástico. Pero por encima del límite lineal de pequeñas deformaciones, las ecuaciones mencionadas ya no representan adecuadamente la dinámica de este medio elástico. Se presenta entonces una propuesta general que puede ser adaptada a casi cualquier medio elástico, un medio al que no se le ponen restricciones sobre que tan arbitrariamente grande puede ser su deformación, un acercamiento a la elasticidad no lineal basado en la siguiente relación constitutiva: el tensor de tensiones como una función analítica de el tensor de deformación. Esta relación constitutiva se puede comprender usando la expansión de Taylor entre espacios de Banach y viendo como el producto tensorial de R3 con R3, es un espacio de Banach. Se hara énfasis en ciertas propiedades matemáticas interesantes y en la relación que hay entre los espacios de Banach y el producto tensorial de espacios vectoriales, se verá como un ejemplo muy partícular que desde esta perspectiva hay una forma mas de definir a la función exponencial de una matriz, pues no suena bien simplemente apropiarnos de los coeficientes de la expansión de una función que toma un escalar "x" y retorna otro escalar "exp(x)", si la función exponente de una matriz "M" es esencialmente una función que toma un tensor "M" y retorna otro tensor "exp(M)".