Transformaciones diferenciales para solución numérica de ecuaciones diferenciales con singularidades. Comparación de eficiencia

Ponente(s): Caro Daniel Alejandro Ruiz Leyva, Inna K. Shingareva

En el presente trabajo se consideran varias transformaciones diferenciales (recién desarrolladas) cuyas aplicaciones nos permiten resolver numéricamente problemas de Cauchy para ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales que contienen singularidades y parámetros arbitrarios. Soluciones de este tipo de problemas tienen singularidades cuyas posiciones se desconocen a priori. Por esta razón, los métodos numéricos estándar para resolver problemas con soluciones que explotan pueden llevar a errores significativos. Primero consideramos transformaciones a un sistema (equivalente) de ecuaciones diferenciales al introducir una nueva variable independiente elegida como la primera derivada, t=y’, donde y es la variable dependiente y x es la variable independiente en la ecuación original. También consideramos la introducción de una nueva variable auxiliar no local (que es una integral de una función regularizada g(x, y, y’) ) con la transformación al problema de Cauchy para el sistema correspondiente de ecuaciones diferenciales. En el otro tipo de transformaciones agregamos a la ecuación original una restricción diferencial (que es una ecuación diferencial auxiliar que conecta las variables originales y una nueva variable). Las transformaciones consideradas conducen a problemas cuyas soluciones están representadas en forma paramétrica y no tienen singularidades. Por lo tanto, los problemas transformados admiten la aplicación de métodos numéricos estándar. La eficiencia de estas transformaciones se estudia resolviendo algunos problemas que admiten soluciones analíticas exactas. Se muestra que: (i) transformaciones no locales (de un tipo especial) son más eficientes que varias otras transformaciones (la transformación hodógrafa, la transformación de longitud de arco, la transformación diferencial); (ii) entre las transformaciones consideradas, las transformaciones más generales son restricciones diferenciales.