Cálculo del espectro de operadores de Schrödinger unidimensionales con interacciones puntuales periódicas
Ponente(s): Leticia Olivera Ramírez, Víctor Barrera-Figueroa
Vladimir S. Rabinovich
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\author[1]{Leticia Olivera Ramírez}
\author[2]{Vladimir S. Rabinovich}
\author[3]{Víctor Barrera-Figueroa}
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\renewcommand\Authands{ y }
\affil[1]{Instituto Politécnico Nacional, SEPI UPIITA-IPN. Av. Inst. Politécnico Nal. 2580, Col. Barrio la Laguna Ticomán, C.P. 07340, Ciudad de México, MÉXICO.}
\affil[2]{Instituto Politécnico Nacional, Departamento de Telecomunicaciones, SEPI ESIME-IPN. Av. Inst. Politécnico Nal. S/N, Col. Lindavista, C.P. 07738, Ciudad de México, MÉXICO.}
\affil[3]{Instituto Politécnico Nacional, Posgrado en Tecnología Avanzada, SEPI-UPIITA, Av. Inst. Politécnico Nal. 2580, Col. Barrio la Laguna Ticomán, C.P. 07340, Ciudad de México, MÉXICO.}
\affil[ ]{email: leticia032olivera@gmail.com; vladimir.rabinovich@gmail.com; vbarreraf@ipn.mx}
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\begin{document}
\title{Cálculo del espectro de operadores de Schrödinger unidimensionales
con interacciones puntuales periódicas. }
\maketitle
Consideremos el operador unidimensional de Schrödinger
\[
S_{q}=-\frac{d^{2}}{dx^{2}}+q\left(x\right),\qquad q\left(x\right):=q_{r}\left(x\right)+q_{s}\left(x\right),\quad x\in\mathbb{R},
\]
donde $q_{r}\in\mathscr{L}^{\infty}\left(\mathbb{R}\right)$ es un
potencial regular, y $q_{s}\in\mathcal{D}^{\prime}\left(\mathbb{R}\right)$
es un potencial singular con soporte en $x=0$ definido por $q_{s}=\alpha\delta\left(x\right)+\beta\delta^{\prime}\left(x\right)$,
$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$.
Un dominio del operador $S_{q}$ como operador no-acotado en $\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}\right)$
debe consistir de funciones $u\in\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}\right)$
tales que $S_{q}u\in\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}\right)$. Si $u\in\mathscr{C}_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}\setminus0\right)$
esta condición se satisface pero no para cualquier $u\in\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}\right)$.
No obstante es posible definir una extensión del operador $S_{q}$
que actúe sobre funciones discontinuas en $x=0$. Sea $\mathcal{H}_{\mathrm{A}_{0}}$
un operador no-acotado en $\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}\right)$
asociado con el operador formal de Schrödinger $S_{q}$, definido
por la expresión diferencial $S_{q_{r}}u:=-u^{\prime\prime}+q_{r}u$
en $\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\} $ con dominio
\[
\textrm{Dom }\left(\mathcal{H}_{\mathrm{A}_{0}}\right)=\left\{ u\in H^{2}\left(\mathbb{R}\setminus0\right):\,\left(\begin{array}{c}
u\left(0^{+}\right)\\
u^{\prime}\left(0^{+}\right)
\end{array}\right)=\mathrm{A}_{0}\left(\begin{array}{c}
u\left(0^{-}\right)\\
u^{\prime}\left(0^{-}\right)
\end{array}\right)\right\} ,
\]
donde
\[
\mathrm{A}_{0}=\left(\begin{array}{cc}
\frac{4-\alpha\beta}{4+\alpha\beta} & -\frac{\beta}{4+\alpha\beta}\\
\frac{\alpha}{4+\alpha\beta} & \frac{4-\alpha\beta}{4+\alpha\beta}
\end{array}\right),\,\alpha\beta\neq-4,
\]
$H^{2}\left(\mathbb{R}\setminus0\right)=H^{2}\left(\mathbb{R}_{+}\right)\oplus H^{2}\left(\mathbb{R}_{-}\right)$,
y $H^{2}\left(a,b\right)$ es el espacio de Sobolev en $\left(a,b\right)$.
Si la matriz $\mathrm{A}_{0}$ es real, tal que $\det\mathrm{A}_{0}=1$,
y si $q_{r}$ es real-valuado, entonces $\mathcal{H}_{\mathrm{A}_{0}}$
es auto-adjunto en $\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}\right)$\cite{Kurasov1996}.
El resultado anterior sigue siendo válido para los operadores de Schrödinger
de la forma
\[
S=-\frac{d^{2}}{dx^{2}}+q_{r}\left(x\right)+\sum_{y\in\mathcal{Y}}\left(\alpha\left(y\right)\delta\left(x-y\right)+\beta\left(y\right)\delta^{\prime}\left(x-y\right)\right)
\]
donde $\mathcal{Y}=\left(y_{n}\right)_{n\in\mathbb{Z}}$ es una sucesión
de puntos tal que $y_{n}