Cálculo del espectro de operadores de Schrödinger unidimensionales con interacciones puntuales periódicas

Autor: Leticia Olivera Ramírez
Coautor(es): Víctor Barrera-Figueroa Vladimir S. Rabinovich
\documentclass[spanish]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[latin9]{inputenc} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{amstext} \usepackage{amssymb} \makeatletter %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands. %Establece los autores del artículo \usepackage[auth-lg]{authblk} \author[1]{Leticia Olivera Ramírez} \author[2]{Vladimir S. Rabinovich} \author[3]{Víctor Barrera-Figueroa} \renewcommand\Authsep{, } \renewcommand\Authands{ y } \affil[1]{Instituto Politécnico Nacional, SEPI UPIITA-IPN. Av. Inst. Politécnico Nal. 2580, Col. Barrio la Laguna Ticomán, C.P. 07340, Ciudad de México, MÉXICO.} \affil[2]{Instituto Politécnico Nacional, Departamento de Telecomunicaciones, SEPI ESIME-IPN. Av. Inst. Politécnico Nal. S/N, Col. Lindavista, C.P. 07738, Ciudad de México, MÉXICO.} \affil[3]{Instituto Politécnico Nacional, Posgrado en Tecnología Avanzada, SEPI-UPIITA, Av. Inst. Politécnico Nal. 2580, Col. Barrio la Laguna Ticomán, C.P. 07340, Ciudad de México, MÉXICO.} \affil[ ]{email: leticia032olivera@gmail.com; vladimir.rabinovich@gmail.com; vbarreraf@ipn.mx} \renewcommand\Affilfont{\small} \makeatother \usepackage{babel} \addto\shorthandsspanish{\spanishdeactivate{~<>.}} \begin{document} \title{Cálculo del espectro de operadores de Schrödinger unidimensionales con interacciones puntuales periódicas. } \maketitle Consideremos el operador unidimensional de Schrödinger \[ S_{q}=-\frac{d^{2}}{dx^{2}}+q\left(x\right),\qquad q\left(x\right):=q_{r}\left(x\right)+q_{s}\left(x\right),\quad x\in\mathbb{R}, \] donde $q_{r}\in\mathscr{L}^{\infty}\left(\mathbb{R}\right)$ es un potencial regular, y $q_{s}\in\mathcal{D}^{\prime}\left(\mathbb{R}\right)$ es un potencial singular con soporte en $x=0$ definido por $q_{s}=\alpha\delta\left(x\right)+\beta\delta^{\prime}\left(x\right)$, $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. Un dominio del operador $S_{q}$ como operador no-acotado en $\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}\right)$ debe consistir de funciones $u\in\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}\right)$ tales que $S_{q}u\in\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}\right)$. Si $u\in\mathscr{C}_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}\setminus0\right)$ esta condición se satisface pero no para cualquier $u\in\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}\right)$. No obstante es posible definir una extensión del operador $S_{q}$ que actúe sobre funciones discontinuas en $x=0$. Sea $\mathcal{H}_{\mathrm{A}_{0}}$ un operador no-acotado en $\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}\right)$ asociado con el operador formal de Schrödinger $S_{q}$, definido por la expresión diferencial $S_{q_{r}}u:=-u^{\prime\prime}+q_{r}u$ en $\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\} $ con dominio \[ \textrm{Dom }\left(\mathcal{H}_{\mathrm{A}_{0}}\right)=\left\{ u\in H^{2}\left(\mathbb{R}\setminus0\right):\,\left(\begin{array}{c} u\left(0^{+}\right)\\ u^{\prime}\left(0^{+}\right) \end{array}\right)=\mathrm{A}_{0}\left(\begin{array}{c} u\left(0^{-}\right)\\ u^{\prime}\left(0^{-}\right) \end{array}\right)\right\} , \] donde \[ \mathrm{A}_{0}=\left(\begin{array}{cc} \frac{4-\alpha\beta}{4+\alpha\beta} & -\frac{\beta}{4+\alpha\beta}\\ \frac{\alpha}{4+\alpha\beta} & \frac{4-\alpha\beta}{4+\alpha\beta} \end{array}\right),\,\alpha\beta\neq-4, \] $H^{2}\left(\mathbb{R}\setminus0\right)=H^{2}\left(\mathbb{R}_{+}\right)\oplus H^{2}\left(\mathbb{R}_{-}\right)$, y $H^{2}\left(a,b\right)$ es el espacio de Sobolev en $\left(a,b\right)$. Si la matriz $\mathrm{A}_{0}$ es real, tal que $\det\mathrm{A}_{0}=1$, y si $q_{r}$ es real-valuado, entonces $\mathcal{H}_{\mathrm{A}_{0}}$ es auto-adjunto en $\mathscr{L}^{2}\left(\mathbb{R}\right)$\cite{Kurasov1996}. El resultado anterior sigue siendo válido para los operadores de Schrödinger de la forma \[ S=-\frac{d^{2}}{dx^{2}}+q_{r}\left(x\right)+\sum_{y\in\mathcal{Y}}\left(\alpha\left(y\right)\delta\left(x-y\right)+\beta\left(y\right)\delta^{\prime}\left(x-y\right)\right) \] donde $\mathcal{Y}=\left(y_{n}\right)_{n\in\mathbb{Z}}$ es una sucesión de puntos tal que $y_{n}